3.2.3 空间的角的计算教案及板书设计

空

间

的

角

的

计

算（1）

【教学目标】

能用空间向量方法解决异面直线所成角、直线与平面所成角的计算问题．

【教学重点】

用空间向量方法求异面直线所成角、直线与平面所成角. 【教学难点】

空间向量的夹角与异面直线所成角、直线与平面所成角的关系. 【课前准备】

看泰微课，复习异面直线所成角、直线与平面所成角的定义. 设计意图：借助泰微课，为本节课做好知识储备. 【教学过程】

1．

复习回顾：

上节课我们学会借助于直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间的直线和平面的特殊位置关系，再来一起回顾一下：

设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2，两个平面1,2的法向量分别为n1,n2

平行

垂直

[来源:Z+xx+k.Com]l1与l2

l1与1

e1//e2

e1n1

n1//n2

e1e2

e1//n1

n1n2

1与2

2、提出问题

问题1：对于一般情形，如果空间两条直线、直线和平面、平面和平面既不平行也不垂直，如何刻画它们的位置关系？

生：用空间角来刻画. 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角. 问题2：空间的角的有哪些？

生：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角. 问题3：我们可以用什么方法来求空间角的大小？ 设计意图：通过3个问题的探讨，使学生明确本节课要解决的问题.这里直接从数学知识内部来设计问题情境，学生更容易接受.

3．解决问题

下面我们就以一个具体的问题为例，探究空间角的计算方法. 已知E,F分别是正方体ABCDA'B'C'D'的棱BC和A'D'B'C'DAFCEB

CD的中点，求A'D与EF所成角的大小. 问题4：本题该如何求解？

生1：直线A'D与直线EF是一对异面直线，连接DB,A'B. E,F分别是正方体ABCDA'B'C'D'的棱BC和CD的中点，得到EF//DB,求A'D与EF所成角转化成求相交直线A'D与DB所成角，放到等边三角形A'DB中求解，从而得到A'DB60，即异面直线A'D与EF所成角为60. 问题5：若将E点移到BC的三等分点，综合法还行吗？

生2:若E点是BC的三等分点，综合法可以求解，但是此时的异面直线A'D与EF所成角不再是特殊三角形中的特殊角，我们要借助解三角形求角了。

师：不管E点位于BC上的什么位置，我们都可以用综合法最后转化成解三角形的问题求角的大小，但是运算很大。

分析：通过回顾之前求异面直线所成角的过程，说明后面空间向量求解线线角的优越性. 问题6：能否从空间向量的角度思考？

设计意图：及时的追问，给出问题的变式，激发了学生的探究欲望，引导学生向本节课的核心问题进发. 生3：发现异面直线所成的夹角与两条直线的方向向量A'D与EF所成的夹角相等，由向量的数量积去计算两个向量所成的夹角. 师：那我们一起来尝试一下：

z不妨设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点的坐标为: A''''D'B'C'A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1), 11E(,1,0),F(0,,0). 2211则AD(1,0,1),

EF(,,0),, 22'DxAFCBEy所以A'D2,EF由cosAD,EF'12,A'DEF,

22A'DEFA'DEF1,（A'D,EF0,）

2可得向量A'D与EF的夹角为60.因此异面直线A'D与EF所成角为60. 师：如果取FE为直线EF的方向向量，那么方向向量的夹角和这两条异面直线所成的角有什么关系？

生：两个角互补.

一般地，设异面直线所成角为，则两直线的方向向量e1,e2的夹角与的关系为相等或互补，它们满足关系式：coscose1,e2

师：我们用空间向量从坐标角度解决了向量夹角的问题，当然，我们还可以用向量数量积的另外一种形式，向量形式，即选取不共线的一组向量，作为基底，线性表示出向量A'D与EF，也可以解决问题.留给同学们课后完成. 练一练：上题中， 1、若将条件改为BE=3EC，求异面直线A’D与EF所成角的余弦值大小. 2、若E点为BC上一动点，异面直线A’D与EF所成角能否为30°？ 设计意图：当堂巩固所学内容，及时发现问题并纠正；通过第2题的解答更体现向量法的优越性.

问题7:学会了计算异面直线所成的角的方法，类似的我们就可以解决直线与平面所成的角的计算问题。我们该用什么向量空间的的夹角来求直线与平面所成角呢？

生：直线的方向向量与平面的法向量的夹角

问题8:

直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成的角有什么关系呢？

通过具体实例让学生探究

例2：正方体AC’中，E、F、M分别为BC、DC、D’C’的中点，求直线EF与平面A’MD所成角的大小.

（由学生先独立思考，再相互讨论合作完成.）

一般地，设直线与平面所成角为，则直线的方向向量e与平面的法向量n的夹角满足关系式：sincose,n. 设计意图：培养学生的探究能力，相互合作解决问题的能力。

问题9：你能利用上述正方体模型为大家再出一道关于线面角的题吗？

设计意图：提出问题的能力比解决问题的能力更为重要，这里尝试着让学生自己设计问题，对培养学生的问题意识有很好的作用,也促使学生对所学内容向更深层次去思考. 4.课堂小结

（1）从基础知识方法角度

（2）从数学思想方法角度

5．课后巩固

一、观看相关泰微课视频：

1.空间两条直线的夹角的定义

http://learn.tze.cn/Home/PlayMedia/38755?courseId=4

2.直线与平面所成角的定义

http://learn.tze.cn/Home/PlayMedia/30275?courseId=4

3.直线和平面所成角的求法

http://learn.tze.cn/Home/PlayMedia/39608?courseId=4

二、完成例1、例2的变式.