5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切优质课教案整理

半角的余弦、正弦和正切公式（含教学反思）

上海市建平中学

王兆龙

教材分析

半角的余弦、正弦和正切公式是教材中二倍角公式一节之后的内容。利用二倍角公式可以推导半角公式。与二倍角公式相比，半角公式有更灵活的表现形式，对提高思维的灵活性有重要作用。利用二倍角公式也可推导万能公式。万能公式完成了角和三角比名称的统一，体现了解决三角比问题时化同名、化同角的常用思想，这种思想在解决一般的三角比问题时也经常用到。

教学目标

1．

推导半角公式与万能公式；

2．

初步运用公式求值、化简、证明；

3．

培养从不同角度观察、分析、解决问题的能力。

教学重点、难点

教学重点：半角公式与万能公式的推导及简单运用。

教学难点：公式的选择与灵活运用。

教学过程

1.

复习与引入

回顾二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式。

指明公式特点：

第一组半角公式用单角的余弦值表示半角的余弦、正弦和正切，但是要开方，有正负；

第二组半角公式只针对半角的正切，将半角正切用单角正余弦表示出来，无需正负。

强调半角的相对性：3是的半角，是3的半角等等。

22【设计意图】推导半角公式，熟悉公式形式，初步认识公式特点。

2. 半角公式的初步运用

例1.

（1）已知cos3，,0，求sin、cos和tan的值；

22252（2）已知sin4，,0，求tan的值。

252解：（1）由,0，可知,0，此时sin0，cos0．

22242

故sin21cos2133155，cos1cos525，

252225tan221．

2cos2sin43sin1（2）由,0可知cos，所以tan5．

521cos13225【设计意图】熟悉并初步运用两组半角公式，能够根据不同的条件选用不同的公式。

3. 万能公式的推导及运用

例2.

已知tan22，求2sin2cos2cos22sin22的值．

解1：因为tan22，所以sin22cos2，所以

222112cos25cos21，cos2，所以原式．

又因为sin525222

2sin2cos2cos22sin224cos22cos24cos2cos2．

2sin解2：2cos2cos22sin222sin2cos2cos22sin22，即原式sin22cos222tan21tan2241414151．

5tan221解2的计算过程表明：

sin2sin2cos22，coscos2sin22，即万能公式．

221tan21tan2222tan1tan2【设计意图】从教材中5.3节（同角三角比的关系）的典型问题入手，对于较为熟悉的问题，从具体的计算过程中提炼出万能公式，并指明公式特点。

例3. 已知sincos1，,0，求tan．

252143sincos解1：5，且,0，解出sin，cos，552sin2cos21tan2sin1．

1cos22tan解2：由万能公式，sincos21tan221，ant故2521tan2解出tan25ant30

2221或tan3．但,0，,0，tan0，所以2222421tan．

22【设计意图】初步运用万能公式进行求值，能从不同的角度看待问题，用不同的方法解决问题。

4.

小结

总结本课所学公式，根据问题形式选用适当的公式。

三组公式优缺点比较：

第一组：sin21cos1cos1cos，cos，tan

22221cos

优点：只用一个三角名cos；缺点：形式繁琐，且有正负号的问题。

第二组：tan2sin1cos

1cossin

优点：形式简单，无正负号；缺点：需要用到两个三角名。

第三组：万能公式

优点：角、名统一；缺点：形式复杂，计算量大。

5.

作业

书后习题。

教学反思

1.

学情了解不够。本课所选例题都是比较基础比较简单的问题，但同学解决问题时仍有困难。因为是在外校借班上课，所以之前只能了解进度，而不知道同学的水平到底如何。从这点来看，所选例题应更简单更容易上手为好，当然这里也有准备的内容比较少而空余时间的风险。所以如果之后是借班上课，最好能了解学生学习的难易程度如何再去制定相应的教案和例题等等。

2.

准备不够充分。主要表现在ppt和黑板的使用上。ppt格式有变化，这是之前没有预料到的。黑板的结构也与自己学校不同，所以在用ppt和黑板时总感觉比较别扭，板书的设计也不够美观。所以应该充分了解教室等客观环境与情况之后再考虑板书或ppt的设计。

3.

课堂掌控能力。只有个别同学喜欢发言，能完成所有问题。更多的同学并没有被调动起来，调动同学情绪的能力也是需要提高的。