6.4 反三角函数教学设计及课堂实录

反正弦函数的教案设计

一、教学目标：

1.经历反正弦函数概念的生成过程；

2.理解反正弦函数的概念，并掌握其图像与性质；

3.会用反正弦函数的值表示角的大小. 二、教学重点与难点：

重点:反正弦函数的概念、图像与性质. 难点:反正弦函数概念的建立过程.三、教学过程：

（一）

复习旧知

三角学之英文名称Trigonometry,实际导源于希腊文trigono（三角）和metrein（测量），其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边角关系为基础，达到测量上的应用学科，早期主要应用在天文测量、航海测量等.而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题.一类是已知角的大小来求三角比值的大小，这是我们之前学过的内容.例如正弦函数ysinx，对任意1，则正弦值ysinxsin，6261相反的问题是已知正弦值求角的大小，如正弦值sinx，那么角x如何表示呢？251,kZ）;如果sinx，角x又（角x可以表示为x2k或x2k663角x都有唯一确定的sinx值与之相对应，如x=该如何表示呢？这就需要探讨如何通过正弦值来表示角的大小？给定正弦值能否唯一确定角的大小？这是本节课即将研究的正弦函数是否存在反函数的问题. （二）

引入课题

之前我们学过反函数的相关概念，我们知道并非每个函数都存在反函数，怎样的函数关系才存在反函数呢？（学生作答：当自变量x与因变量y一一对应时），那么正弦函数ysinx,xR是否存在反函数呢？（答案是否定的，学生给出的原因是：对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应，正弦函数的自变量与因变量是多对一的．因此定义在R上的正弦函数ysinx不存在反函数）．虽然正弦函数不存在反函数，但可选取某一区间使得ysinx在该区间上存在反函数，应该选取怎

样的区间，使得ysinx存在反函数呢？依据两个原则：（1）所取区间应使得ysinx在此区间是单调函数；（2）在该区间上应确保ysinx的值域为[1,1]. 学生讨论后回答一系列的区间如[0,等，但区间[0,2],[3353,],[,],[,],[,]

222222222]内角无法表示正弦值sinx0的角同时不满足原则（2），故排除；其余的单调区间学生自然而然地能够感受到[,]的优势，一、该区间有很好的22对称性，研究起来也较为方便，二、该区间内有学生较为熟悉的锐角与零角；因此，选取区间[弦函数. （三）

反正弦函数的概念以及符号认识

定义：函数ysinx，x[,]使得ysinx存在反函数，而这个反函数即是今天要学习的反正22,]的反函数叫做反正弦函数，记作

22yarcsinx,x[1,1]

实际上根据求反函数中将x与y互换步骤得知应表示为xarcsiny,y[1,1] 在定义中首先认识“arcsin”这个符号的含义，“arcsin”中的“sin”是正弦的意思，但“arc”并非是反的意思，而是圆弧的意思，即圆周上的一段弧长，根据弧长l与圆心角的关系lr，在单位圆中r1，从而l，此时弧即是角，角即是弧，所以“arc”可以理解成角是顺其自然的事情，对于“arcsiny”也即是正弦值为y时所对应的[,]内的角,故而且sin(arcsiny)y. 22举例说明反正弦函数值的大小：

（1）arcsin11表示－，内一个角，且sin的角也即是. 2262222表示－，内一个角，且sin的角. 3322（2）arcsin学生对反正弦函数值有所认识后，抽取学生口答以下问题来巩固概念：

例1.求下列反正弦函数的值.

3 = （2）arcsin00 232（3）arcsin()=- （4）arcsin无意义243

（）1arcsin通过例1后总结arcsinx需要注意的几点：

（1）x[1,1]有意义；（2）arcsinx[（四）

反正弦函数的性质和图像：

从三个方面让学生理解和掌握反正弦函数的性质，（1）借助已知函数与未知函数的关系来探究，即从正弦函数ysinx,x[,]；（3）sin(arcsinx)x. 22,]与反正弦函数22yarcsinx,x[1,1]互为反函数的角度去挖掘其性质；（2）如果未知函数没有熟悉的函数可依据，那么此时只能借助单调性和奇偶性的定义角度去证明（本内容作为思考题来处理的）；（3）研究反正弦函数的图像，利用形数结合更直观形象地反映出反正弦函数的性质，在处理反正弦函数的图像的过程中，利用ysinx,x[,]与反正弦函数yarcsinx,x[1,1]两者的图像关于直线yx对称22去作图，在作图的过程中牵扯到直线yx和ysinx,x[0,题，利用当(0,2]有几个交点的问2)，sintan这个结论来揭晓. 反正弦函数的性质：yarcsinx,x[1,1]

（1）定义域D[1,1]；（2）值域A[,]；

22（3）奇偶性

：奇函数（表现在解析式上即arcsin(x)arcsinx）；

（4）单调性：yarcsinx在[1,1]单调递增. （五）

新知巩固，问题提出: 例2.化简下列各式. 5) 96（3）arcsin(sin1) （4）arcsin(sin2)

（）1arcsin(sin) （2）arcsin(sin说明arcsin(sin)：is=t，设n即求arcsint，由定义得sin=t,[,]，9922

从而sin=sinrcsin(sin)=，即a；因此易知当x[,]时，999922arcsin(sinx)=x；如果x[,]，arcsin(sinx)=x是否成立呢？下节课我们继22，故续研究. （六）

教后记：本节课出自于沪教版高一第二学期第六章《三角函数》中的6.4节反三角函数的第一课时，通过对本节课的学习可使得学生加深对反函数的概念的理解，而且为反余弦和反正切的学习打下了根基，因此本节课起到承上启下的作用，从而使得三角函数的体系更加完整；基于学生处于上海市杨浦区区重点的后段的学情制定合理的教学目标。为实现教学目标，笔者采取引导发现法和多媒体辅助教学的方法来实施教学过程，同时合理地设置问题情境，使得问题层层递进，从而启发学生主动思考来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化.在探讨反正弦函数的性质过程中采取多方面的思维引导，提高了学生的学习兴趣，加大课堂的信息容量，拓宽了学生的思维空间，体现了素质教育中学习能力的培养问题，从而达到了教育教学的目的.但遗憾的是由于本节课知识容量大，知识巩固练习部分未能按照预设完成目标，笔者对时间的把握还需多提高和修炼，望各位评委多多提意见和批评指正.