5.2 任意角的三角比板书设计

5.2(1) 任意角的三角比

上海市民办扬波中学 赵洪森

一、教学内容分析[来源:学科网]

通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，并利用与单位圆有关的线段，将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来；接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式（公式一）．

二、教学目标设计

(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

(2) 了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角的条件要求；

(3) 体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．

三、教学重点及难点

重点：任意角的三角比的定义．

难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．

四、教学流程设计

实例引入

概念辨析

巩固练习

[来源:学.科.网]拓展与思考

[来源:学科网ZXXK]作业及反馈

总结提炼

五、教学过程设计 一、情景引入

回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如：

PsinMPOM cos OPOPO

M

tanMPOM cot

OMMP引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们研究任意角的三角比.

把锐角置于平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知P在角的终边上，设它的坐标为(x,y)，它与原点的距离rx2y20，可发现作为锐角的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.

二、学习新课

1、概念形成



任意角的三角比定义

设是一个任意角，在的终边上任取一点P(x,y)（除原点），

则P与原点的距离r比值x2y20，

y叫做的正弦 记作： sinrx比值叫做的余弦 记作： cosry比值叫做的正切 记作： tanx比值y

rx

ry

x[来源:Z|xx|k.Com]角的终边yP(x,y)oxxx叫做的余切 记作： cotyy

比值rr叫做的正割 记作： sec

xx比值rr叫做的余割 记作： csc yy提问：对于确定的角，这六个三角比值的大小与P点在角终边上的位置是否有关？

利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角，这六个三角比值的大小与P点在角的终边上的位置无关．

提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角，它的六个三角比都存在呢？

(1) 当角的终边在纵轴上时，即k2(kZ)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；

(2) 当角的终边在横轴上时，即k(kZ)时，终边上任意一点P的纵坐标y都为0，所以cot、csc无意义.

k(kZ)Rcotsin从而有：cos R sec k(kZ).2tank(kZ)csck(kZ)2[说明][来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学科网][来源:Z&xx&k.Com]

(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2) OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.

(3) sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积，其余五个符号也是这样.

(4) 三角比值只与角的大小有关.

(5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别: 任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例.

所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆.

2、三角比的一种几何表示（一）单位圆和有向线段[来源:学_科_网Z_X_X_K]

[来源:学科网ZXXK]

(1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.

(2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.

设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于T.

规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值；

当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；

当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；

根据上面规定，则OMx,MPy, 利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图3．

图3 由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

[来源:学§科§网]sinyyyMP

r1xxxOMr1cos

tanyMPATAT

xOMOA这几条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在．

例1：已知角的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值.

答：siny3313x2213 cos

r13r131313y3x2 cot x2y3

tan

secr13r13 csc

x2y3提问：若将P(2,3)改为P(2a,3a)(a0)，如何求的六个三角函数值呢？（注意：分a0和a0两种情况进行讨论）

例2：求下列各角的六个三角比值

(1) 

(2) 35

(3)

24答：(1) sin0,cos1,tan0, cot不存在，sec1，csc不存在.[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK]

(2) sin3331,cos0,tan不存在, 2223330，sec1.

不存在，csc222cot

(3) sin52525,cos,tan1, 424245551，sec2，csc2.

444cot例3：作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线

(1) 2 (2) 

33[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

如图，正弦线、余弦线、正切线分别为MP,OM,AT．

例4.求证：当为锐角时，sintan．

证明：如右图，作单位圆，当02时作出正弦线MP和正切

线AT，连PA，111SOPAS扇形OPASOAT，

OAMPOAPAOAAT

222

sintan

[来源:学*科*网Z*X*X*K]三、巩固练习

练习5.2（1）

四、课堂小结

（1）任意角的三角比的定义；

（2）三角比的几何表示——三角函数线；

（3）掌握分类讨论的思想（主要对象限的讨论）；

（4）掌握数形结合的思想（对三角函数线的理解及其应用）；

五、课后作业

练习册 P15－17

习题5.2 A组 1，2，3，9，10 习题5.2 B组 1，4 六、教学设计说明

1、

由任意角的三角比的定义可知，若已知角终边上一点，便可求出其各三角比的值，或通过三角比的定义，可知其二求其一．

（2）必须讲清并强调小有关．

yxyxrr,,,,,这六个比值的大小都与点

rrxyxy在角的终边上的位置无关，只与角的大（3）教学中应注意，语言要准确严密．

[来源:Z+xx+k.Com]

（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角比符号的含义．如sin这个符号，它表示y，即角的正弦，r不能把sin看成sin与的乘积．同时也应注意，每个三角比记号的第一个字母“

”或“

”或“

”都不能大写，不能让学生写成“Sin”、“Cos”等．[来源:学科网]

（5）本设计中的某些问题可能适合部分学生，教师应作适当选择.