6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质国家优质课一等奖

函数yAsin(ωxφ)的图像与性质

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考考自己 课堂演练

温故知新

1．作出函数ysin(2x)在长度为一个周期的闭区间上的大致图像

32．已知将函数ysinx的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）再向个单位，可得到函数yf(x)的图像，则函数yf(x)的解析式是

43．函数的递减区间是

左平移y1sin(2x)44．函数y2sin(30x

12)的振幅A=

频率f=

初相=

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问题驱动 知识梳理

指点迷津

1．如何作出yAsin(ωxφ)(A0,ω0)的图像？

以函数y3sin(2x)为例

4（1）把函数ysinx的图像上所有点的横坐标变为原来的（2）把ysin2x图像上所有的点向左平移1倍，得到ysin2x的图像

2，得到ysin(2x)的图像

84（3）把ysin(2x)像

图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍，得到y3sin(2x)的图442．yAsin(ωxφ)(A0,ω0)的性质

（1）定义域和值域：函数yAsin(ωxφ)的定义域是R，值域是[-A，A] （2）周期性：yAsin(ωxφ)是以2为最小正周期的函数

||（3）奇偶性：当φkπ(kZ)时，既不是奇函数，也不是偶函数

2当φkπ(kZ)时，是奇函数

当k2(kZ)时，是偶函数

（4）单调性：yAsin(ωxφ)看成是由tωxφ和yAsint复合的函数，又tωxφ(ω0)在ππωxφ2kπ(kZ)，即2234kππ2φ4kππ2φx,(kZ)函数递增；2kx2k(kZ)，即222ω2ωR上递增，所以2kπ4kππ2φ4kπ3π2φx,(kZ)函数递减

2ω2ω

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指导训练

考点1通过熟悉几种变换，对函数的图像有个直观的感受

例题1函数ysin(2x)的图像可由ysinx通过怎样的变换得到？

3分析：

解答：将函数ysinx的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的右平移

评注：

1倍（纵坐标不变），再向26个单位，可得到函数ysin(2x3)的图像

考点2 通过函数的图像熟悉A、、这三个量在函数图像上的体现

例题2如图所示，已知yAsin(ωxφ)的一部分图像试写出函数的一个解析式

分析：

2y7π67)2w1

解答：由图可知A2,T2(66可设y2sin(x),又(,2)在函数图像上

6x-π3O-2

则

2k

评注：

3,kz当k0时,y2sin(x3)

考点3通过函数的性质求图像的对称轴

例题3求函数y3sin(2x)1的图像的对称轴

4分析：

解答：

函数y3sin(2x4)1取得最大值和最小值，则2x42k，即对称轴为x

3k(kz)

82评注：

考点4考察利用三角函数的有界性来确定函数的最大（小）值，以及熟悉图像的变换

例题4已知函数f(x)1cos2x3sinxcosx1，当函数f(x)取得最大值时，求自变量x22的集合，该函数的图像经过怎样的平移所得到的函数图像关于y轴对称？

分析：

解答（1）f(x)11cos2x3sin2x151sin(2x)

2222264

即

时

的最大值是

当

（2）f(x)151515sin(2x)cos(2x)cos[2(x)]

264234264因些函数f(x)的图像向左平移

评注：

6，所得到的函数图像关于y轴对称

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效果反馈 基础训练

巩固提高

一、

填空题

1.将函数ysinx的图像上的所有点的纵坐标，扩大为原来的3倍，并向右平移再把图像上各点的横坐标缩小为原来的个单位，41，那么所得的函数解析式是

22.将函数ysinx的图像上的所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，并把各点的横坐标缩小为

原来的1，再向右平移个单位，那么所得的函数解析式是

243.求下列函数的最小正周期

（1）ysin(x3)

（2）ysin4xcos4x

4.如果函数ysin2xacos2x的图像关于直线x8对称，则a=

5.关于函数f(x)4sin(2x)(xR)有下列命题，其中正确的命题的序号是

（1）由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍

（2）yf(x)的表达式可改写为y4cos(2x（3）yf(x)图像关于点(π3)

66,0)对称

（4）yf(x)图像关于直线x

对称

6选择题

1．函数ycos(2x)的图像可以看作是函数ysin2x的图像经过如下平移得到的，其中正4确的是（

）

个单位 4C．向右平移个单位 8A．向右平移个单位

4D．向左平移个单位

8B．向左平移2．为了得到函数ysin(2x)的图像，可以将函数ycos2x的图像（

）

个单位

长度

B．向右平移个单位长度

42C．向左平移个单位

长度

D．向左平移个单位长度

423．函数的图像（

）

A．向右平移ysin(2x)3

A．关于点

对称

C．关于点(,0)对称

6

对称

3D．关于直线x对称

6B．关于直线x4．函数

的图像关于

对称（

）

A．原点 B．直线x6

C．y轴

D．直线x12

5．给出四个函数

A．ycos(2x)6

B．ysin(2x)6 xC．ysin()26

D．ysin(2x)

3则同时具有以下两个性质的函数是（

）

①最小正周期是 ②图像关于点(,0)对称

66．y2sin(wx)为偶函数0，其图像与直线y=2相交的相邻的两个交点的横坐标为

且

，则（

）

A．w2,2

11B．w,C．w,D．w2,

22

24

4二、

解答题

1．如图所示，已知函数yAsin(ωxφ)的一部分

图像试写出函数的一个解析式

-π32y8π3x

2．已知函数y3sinxcosx,xR

（1）当函数取得最大值时，求自变量x的集合

O-2（2）该函数的图像可由ysinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

3．设函数f(x)sin(2x)(0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x（2）求函数yf(x)的单调递增区间

4．若函数yAsin(ωxφ)(A0,ω0)的图像的一个最高点为(2,2)，它到相邻的最低点之间的图像与x轴交于点(6，0)，求这个函数的解析式

5．已知函数f(x)cos4x2sinxcosxsin4x

（1）求f(x)的最小正周期；（2）若x[0,]，求f(x)的最大值、最小值

（1）求8

2

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掌握规律 归纳小结

提炼方法

1．在学习如何画函数yAsin(wx)(Ao,wo,[0,2])的图象知识时，我们经历了“从简单到复杂，从特殊到一般”，复习了函数图像的变换，发现了这类函数的内在联系。

2．在研究函数yAsin(wx)(Ao,wo,[0,2])的有关性质时，我们是回到函数ysinx

的图像和性质，利用整体思想求出函数yAsin(wx)(Ao,wo,[0,2])的单调区间与最小正周期