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24.2.1反证法教学设计

凉州区高坝镇六坝九年制学校 张礼

教学目标：

知识技能：1. 通过实例，体会反证法的含义。

2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

过程方法：通过师生合作探究，相互交流，发现解决问题的不同方法，培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。

情感态度价值观：培养学生的思维能力和学习数学的兴趣以及唯物辩证主义思想，学会从正反两面论证问题的方法。

教学重点和难点：

本节教学的重点是反证法的含义和步骤。书写证明步骤、解题过程是本节教学的难点。

教学过程：

一、创设情境，导入新课

利用课本中《路旁苦李》这个故事，利用多媒体给出这个故事的动画场景。 （营造开放的讨论场面，引导学生接近并进入反证法的话题）

二、合作交流，探求新知

教师给出问题：如果当时你也在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断方法正确吗？

他运用的是什么样的推理方法？

学生活动：小组讨论，要求能自说其圆。（教师既要赞许类似王戎式的学生的判断方法，但也要肯定选择直接去尝试实验的学生的判断方式，并以此为切入点引入课题）

教师板书课题：24.2.1 反证法

三、方法迁移，引入新课

1.方法迁移：若将上面的条件改为：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠

∠

C 证明：假设∠B ＝

∠C ∵∠B ＝

∠C，则AB＝AC，这与已知AB≠AC矛盾．

1

∴假设不成立．∴∠B ≠

∠ C 2.求证：过同一直线上的三点不能作圆

已知：点A、 B、 C 三点在直线 L 上。

求证：过A、 B、 C 三点不能作圆。

证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。

设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线 L1

上，又在线段BC的垂直平分线 L2

上，即点P为L1与L2的交点。而L1垂直L,L2垂直L, 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。因此，假设错误。所以，过同一直线上的三点不能作圆

3.结合上面的问题情境，让学生讨论、归纳阐述反证法的概念。

板书反证法的概念：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法。

4. 师生共同讨论得出反证法的一般步骤：

（学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师一边引导一边板书反证法的一般证明步骤。）

①提出假设 ②推理论证③得出矛盾；④结论成立

5.例1 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：△ABC , 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明：

假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°

即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾。

假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

6.小组合作学习：

求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

已知：如图有L1、L2、L3三条直线，且L1// L2, L2// L3. 求证：L1// L3

引导分析：（1）你首选的是哪一种证明方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

2

(3) 能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？

要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）；回顾（比较两种证明方法的特点）。

证明：假设L1与L3不平行，则可设它们相交于点P。那么过点P 就有两条直线L1、L3与直线L2平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。

∴L1// L3

小结：根据假设推出的结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

7.用反证法证明(填空):两直线平行，同位角相等。

已知：如图，直线L1，L2被L3所截，A，B为交点，L1∥L2.

求证：∠1＝∠2 证明:假设所求证的结论不成立，即_______≠_______. 过点A作直线L4，使L4与L3所成的∠3与∠2相等（∠3＝∠2）

则∠3______∠1，所以直线L4与直线L1不重合。 因为∠3＝∠2，所以L4∥L2，又已知L1∥L2

，这与基本事实“________ ________ ”产生矛盾.所以__________不成立.所求证的结论成立。

8.总结：证明一个命题的方法有两种：直接证法、间接证法

四、巩固补充，练习提高

1．试说出下列命题的反面：

（1）a是实数。

（2)a大于2。

（3）a小于2。

（4）至少有2个

（5）最多有一个 （6）两条直线平行。

2．用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是_________ 。

3．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步__________。

五、总结归纳，反思内化

1.反证法证明的思路

2.难点提示

3

3.反证法的一般步骤

六、分层作业，延伸拓展

1．必做题: 求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。

2. 选做题：求证：等腰三角形的底角必定是锐角。（教师略作提示）

教学效果预测：

反证法的证明步骤学生应该能掌握得比较好，但假设的书写，对原命题结论的反面作为条件的运用，以及推出的结论与谁相矛盾对中下学生来说具有一定的困难，尽管上课强调书写格式和规范，但作业质量可能不一定会很理想，需要通过一定量作业的训练再纠正才能熟练。

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