3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教案及板书设计

空间向量的正交分解及其坐标表示

教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判

断两个向量共线或垂直．

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

教学难点：理解空间向量基本定理．

教学过程：

一、新课引入

1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，

2. 复***面向量基本定理. 二、讲授新课

1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量1a1和2a2，使a1a12a2. 如果a1a2时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取a1,a2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量i,j，则存在一对实数x、y，使得axiyj，即得到平面向量的坐标表示a(x,y). 推广到空间向量，结论会如何呢？

(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3，使a1a12a23a3. 如果a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解. (2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一

向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc. 把{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量. 2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝OB－OA＝(x2,y2,z2)－(x1,y1,z1)＝(x2x1,y2y1,z2z1)．

4. 向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；

⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3

证明方法：与平面向量一样，将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可．

5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a//ba＝λa1a2a3bbba1b1,a2b2,a3b3，(R)12b3；

⑵a⊥ba·b=0a1b1a2b2a3b30．

6. 练习：（1）已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．

（2）P97-1、2（变化坐标系位置再找坐标）------------空间中点坐标的确定方法

（3）P98—6（坐标轴上的点，坐标平面上的点，空间中的任意一点，空间中的向量）

7．与向量a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是

（ ）

1A．（3，1，1）

B．（－1，－3，2） 13C．（－2，2，－1） D．（2，－3，－22）

作业：课本P98习题7、8、

思考：P98习题11。 .