3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计(第一课时)

空间向量教学设计

一、知识梳理：

1．空间向量及有关的概念：

（1）向量：在空间，我们把具有大小和方向的量，记作：AB,a

（2）向量的模：向量a的大小（或长度），记作：|a|

（3）零向量：模为零的向量，零向量0的方向不定。

（4）相等向量：模相等且方向相同的两个向量。

（5）负向量：模相等且方向相反的两个向量互为负向量

（6）平行向量（或共线向量）：方向相同或者相反的两个向量．这与平面几何中的两条直线平行是有区别的。

（7）单位向量：模为1的向量。非零向量a的单位向量a01a

a（8）定比分点公式：设点P，

1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)若P，1PPP2(为实数中点公式．OP1），则OPOP1OP2，

11OP1OP2 2（9）空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc

{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

（10）空间向量的坐标： 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OAxiyjzk，有序实数组(x,y,z)叫作向量OA在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

（11）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OB叫做向量a与b的夹角，，则A记作a,b；且规定0a,b，OAa,OBb显然有a,bb,a；若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab

（12）直线l的一个方向向量d：与直线l平行的非零向量d。

平面的一个法向量n：与平面垂直的非零向量n。

2．空间向量的运算：若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)

向量

加法

运算

向量

ab

代数

表示

减法

数与向量的

乘法

数量积

ab

a，aa

ababcos

0时，a与a的方向相反0时，a与a的方向相同

0时，a0

向量

平行四边形法则

几何

三角形法则

表示

平行四边形法则

三角形法则

A

a乘以b在a上的投

影

BCA

OB

a

o

abOAOBBA

a

b

abOAOBOCabOAACOC

向量

若坐标

表示

则

b.cos

aa(a1,a2,a3)，若a(a1,a2,a3)，若a(a1,a2,a3)

若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，

b(b1,b2,b3)

则

ab(a1b1,a2b2,a3b3)

a(a1,a2,a3)(R)

b(b1,b2,b3)

aba1b1a2b2a3b3

ab(a1b1,a2b2,a3b3)，

运算

（1）加法交换律：

性质

abba

⑵加法结合律：

(ab)ca(bc)数乘分配律：(a)b(ab)a(b)

(ab)ab

．

abba（交换律）

a(bc)abac（分配律）

|a|2aa

模长公式：若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，

则|a|aaa12a22a32，|b|bbb1b2b3．

222夹角公式：cosabab|a||b|a1b1a2b2a3b3aa2a32122bb2b32122

两个非零向量a、b平行a＝λbabab

a1b1,a2b2,a3b3

两个非零向量abab0a1b1a2b2a3b30abab

3．三种空间角和点到面的距离的向量法计算公式：

⑴异面直线a,b所成的角：coscosa,b；

⑵直线a与平面(法向量n)所成的角：sincosa,n；

⑶锐二面角：coscosm,n，其中m,n为两个面的法向量

一般二面角的大小由几何图形决定或者由m,n所指向决定（相同则互补，不同则相等）

⑷点A到平面的距离：

dABn|n|，其中B，n是平面的法向量

4、（1）利用直线的方向向量d和平面的法向量n，判定直线与平面平行的方法是dn0且直线在平面外。

（2）利用平面与其法向量的关系，既可判定两个平面的平行，又可判定两个平面的垂直，方法是n1与n2

平行，且两个平面不重合（平行）； n1n20（垂直）。

二、方法提炼：

1、列方程组，求平面的法向量。

2．回路法，寻找向量间的关系。

3、坐标法或向量法，求空间角、距离等。

三、典型例题：

例1（1）

如图，点A是△ABD所在平面外一点，

G是△BCD的重心，

A1求证：

AG(ABACAD)

3EDBGC

（2）已知AB=（2，2，1），AC=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量

例2

如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点

求：（1）PM与FQ所成的角；

（2）P点到平面EFB的距离；

EzMFPDQCByxA

例3

平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF是EF的中点，

（1）求证平面AGC⊥平面BGC；

（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；

（3）求二面角B—AC—G的大小

四、能力训练：

1ADa,G2zDCAFBGEyx1、已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则AB与CA的夹角θ的大小是_________

2、已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________

3、已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若AP=2PB，则|PD

|的值是__________

4、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为

。

5、已知a+3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉=_______

6、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A1B1

=a，A1D1

=b，A1A

=c，则下列式子中与B1M相等的是

（

）

A－

11a+ b+c

22

B

11a+ b+c

22

C

11a－

b+c

22

D－

11a－

b+c

227、已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是

（

）

A1

B1 5

C3 5

D7

58、设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG

=xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为

111333A（，，）

B（，，）

444444111222C（，，）

D（，，）

333333D1A1B1PDBzC1C9、

棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

xA10、

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点

z（1）证明AD⊥D1F；

D1C1B1（2）求AE与D1F所成的角；

A1（3）证明面AED⊥面A1D1F

E

CDFy

B

xA11、

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长

y为a,侧棱长为2a，建立适当的坐标系，

⑴写出A，B，A1，B1的坐标；

⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角

12、

棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分

别是C1C和D1A1的中点，（1）求EF长度；

zA1MC1B1CxABy（2）求；3）求点A到EF的距离

A1D1FzB1C1EDCByxA

答案：

典型例题：

例1：（1）证明：∵AGACCG

2111CG[CBCD)](CBCD)(CAABCAAD)

323311

AGAC(2CAABAD)(ABACAD)

33（2）解：设面ABC的法向量n(x,y,z)，

DEBAGC则n⊥AB且n⊥AC，即n·AB=0，且n·AC=0，

1xz,即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得2

yz,∴n=z（n1122，－1，1），单位法向量n0=±（，－，）

2333|n|例2：解：建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），

aaaa，0，）、Q（，，0）

2222aaaa（1）∴PM=（－，0，），FQ=（，－，－a），

22223aaaPM·FQ=（－）×+0+×（－a）=－a2，

422226且|PM|= a，|FQ|= a

223a2PMFQ34∴cos〈PM，FQ〉===－

226|PM||FQ|aa22则由中点坐标公式得P（故得两向量所成的角〈PM，FQ〉为150°

故PM与FQ所成的角为30

（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的法向量，

即n⊥平面EFB，∴n⊥EF，n⊥BE

又EF=（－a，a，0），EB

=（0，a，－a），

即有axay0xyz，

ayaz0取x1，则n(1,1,1)

∵

PE

=（aa，0，）

22∴

设所求距离为d，则dPEn|n|= 3a

3例3：解：如图，以A为原点建立直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），

G（a，a，0），F（a，0，0）

（1）证明：AG(a,a,0),AC(0,2a,2a)，BG(a,a,0),BC(0,0,2a)，

设平面AGC的法向量为n1(x1,y1,1)，

x11AGn10ax1ay10n1(1,1,1)

2ay12a0y11ACn0设平面BGC的法向量为n2(1,y2,z2)，

BGn20aay20y21n2(1,1,0)

2az0z12BCn202∴n1n20

即

n1n2

∴平面AGC⊥平面BGC；

（2）由⑴知平面AGC的法向量为n1(1,1,1)

BG(a,a,0),BC(0,0,2a)，

2a6

∴

sin|BGn|3|BG||n|2a3（3）因n1(1,1,1)是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，

平面ABCD的法向量AF(a,0,0)，

得|cos||n1AF|a3,

3|n1||AF|3a∴二面角B—AC—G的大小为arccos3.

3能力训练：

1、解析：AB=（－2，－1，3），CA=（－1，3，－2），

cos〈AB，CA〉=(2)(1)(1)33(2)1414=17=－，

214∴θ=〈AB，CA〉=120°

答案：120°

2、解析：∵EF=EA+AB+BF，EF=EC+CD+DF，

两式相加，得2EF=（EA+EC）+（AB+CD）+（BF+DF）

∵E是AC的中点，故EA+EC=0同理，BF+DF=0

∴2EF= AB+CD=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c∴EF=3a+3b－5c

答案：3a+3b－5c

3、解析：设点P（x，y，z），则由AP=2PB，得

（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），

1x,3x122x,8即y262y,解得y,

3z182z,z3,则|PD|=(77181)2(1)2(31)2=

答案：

33377

34、解：建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿DA、DC、DD1方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，11，1），C（0，1，0），N（1，1，）

2211∴AM=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），

2211CN=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）

22111故AM·CN=0×1+×0+1×=，

2225511|AM|=02()212= ，|CN|=1202()2=

2222

∴cosα=AMCN=5|AM||CN|21252=22∴α=arccos

555、解析：由条件知（a+3b）·（7a－5b）=7|a|2－15|b|2+16a·及（a－4b）·（7ab=0，－2b）=7|a|2+8|b|2－30a·b=0

两式相减得46a·b=23|b|2，

∴a·b= 1|b|2代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|=|b|

21|b|2ab1∴cos〈a，b〉==22=∴〈a，b〉=60°

答案：60°

2|a||b||b|6、解析：B1M=B1B

+ BM=B1B+ －

111（BA+BC）=A－

+ AA1D1=cAB11122211a+ b，故选A

答案：A 227、解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2a－b=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）

7

答案：D 53333218、解析：∵OG=

OG1= （OA

+AG1）=OA+ ·［（AB+AC）］44443231111=（OB－OA）+（OC－OA）］=OA+ ［OA+ OB+ OC，而44444111OG=xOA+yOB+zOC，∴x=，y=，z=

444∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0∴k=答案：A 9、解：以D为原点建立如图所示的坐标系，

设存在点P（0，0，z），AP=（－a，0，z），AC=（－a，a，0），

，

DB1

=（a，a，a）∵B1D⊥面PAC，∴DB1·AP=0，DB1·AC=0

∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合

∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC

10、解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，

则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）

（1）∵DA·D1F

=（2，0，0）·（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F

（2）∵AE·D1F=（0，2，1）·（0，1，－2）=0，

∴AE⊥D1F，即AE与D1F成90°角

（3）∵DE·D1F=（2，2，1）·（0，1，－2）=0，

∴DE⊥D1F∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED

∵D1F面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F

11、解：（1）建系如图，则A（0，0，0）

B（0，a,0）

A1（0，0，2a),C1（-3aa,,2a) 22(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，

于是M（0，a,2a），连结AM，MC1 2则有MC1(3a,0,0)

AB(0,a,0)，AA1(0,02a)，

2∴MC1AB0，MC1AA10，

所以，MC1⊥平面ABB1A1

因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角



AC1(a3aa,,2a)，AM(0,,2a)，

22239a2,而||AC1|3a,|AM|a

AC1AM24由cos=AC1AM3,

=30°

|AC1||AM|23aa,,2a)，

22解法二：

AC1(zA1MC1B1C

平面ABB1A1的一个法向量n(1,0,0)

∴AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：

AC1n1

sincosAC1,n=|AC1||n|2xABy∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°

12、解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F（1，0，2）

由此可得：AB=（0，2，0），EF=（1，-2，1）

FA=（1，0，-2），|AB|=2，|FA|=5，ABEF= - 4, FAEF=1-2=-1，

所以（1）|EF|=6

（2）cos=66ABEF=-,所以=-arccos

|AB||EF|3(3)FA在EF上的射影的数量FAcos=FAFE|FE|=16



A到EF的距离=|FA|2(1)217466

3