3.1.3 导数的几何意义教学设计方案

导数的几何意义

1.

教学目标 知识与技能

1.理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想．

2.掌握求曲线上一点处的切线的斜率的方法．

过程与方法

通过观察命题、科学猜想的过程，培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力，培养学生合作学习、创新能力．

情感、态度与价值观

1.经过FLASH动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义．

2.增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．

2.

教学重点/难点 教学重点：

导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．

教学难点：

“以直代曲”的数学思想方法，以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．

教学过程设计

一、温故知新、引入课题

1.函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:

2.平均变化率的几何意义：割线的斜率

3.导数的概念：一般地，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是，称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或，即

4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是: （1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）取极限的导数

二、新知探究

[1]切线

探究1 平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？

【生】初中平面几何中圆的切线定义：如果直线与圆有唯一公共点，则称直线与圆相切，这条直线叫圆的切线。

【师】如图直线l1是曲线C的切线吗? 直线l2呢?

【生】直线l2是曲线C的切线

【师】我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？

曲线的切线及切线的斜率：

如图1.1-2，当时，割线【生】演变成切线PT。

沿着曲线的变化趋势是什么？

趋近于点

切线的定义：

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个. 【设计意图】用运动的观点解释圆的切线：让圆的割线运动到确定的位置（即直线与圆只有唯一一个交点处）就形成了圆的切线。用运动的观点研究一般曲线的切线。

【师】⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

【说明】

1.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

2.曲线在某点处的切线: （1）与该点的位置有关; （2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; （3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 这个概念的作用:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在[2]导数的几何意义

探究2：在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？

处的导数.

导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，

【说明】：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率曲线在点的切线的斜率；

,得到③利用点斜式求切线方程. 【师】：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

【生】：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。

【师】：切线y=kx+b中，如果k>0，则切线有怎样的变化趋势？如果k<0呢？反之，由切线的变化趋势，能否确定斜率的情况？

【生】：k>0，则切线呈上升趋势；k<0，则切线呈下降趋势。由切线的变化趋势可以得出切线的斜率情况，也即该点处的导数情况。

【设计意图】适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。

【例题讲解】

例1:若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )

【解析】因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．

【答案】

A 【小结】f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率，若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)

上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分. 【变式训练】已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )

【解析】由y＝f(x)的图象可知，在A，B点处的切线斜率kA＞kB，根据导数的几何意义有：f′(xA)＞f′(xB)．

【答案】

A 例2.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 解析：

所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y-2=2(x-1)即2x-y=0 【小结】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；

②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数；

③利用点斜式求切线方程. 例3.如图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h(x)=-4.9x2+6.5x+10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解析：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于轴，所以，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）当t=t1时，曲线h(t)在t1处的切线的斜率近曲线下降，即函数（3）当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线的斜率近曲线下降，即函数，所以，在t=t1附在t=t1附近单调递减．

，所以，在t=t2附在t=t2附近单调递减．

从图1.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在附近t2下降的缓慢．

【总结提升】

通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论? (1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；

(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；

(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .

例4．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解析：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

[4]导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, f'(x0)是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f'(x0)或y'，即:

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)、导函数f'(x)、导数之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f'(x0)就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数

（3）函数f（x）在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。

七、当堂检测

1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( )

A.4

B.16

C.8

D.2 2．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是 ( )

3．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 ( )

4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是

【参考答案】

1. C

2. D

3. B

4. 3 课堂小结 1.曲线的切线定义

2.使学生掌握函数的图像在处的导数f'(x0)的几何意义就是函数处的切线的斜率。（数形结合），即：切线的斜率

3．利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

4．导函数（简称“导数”）的概念。

课后习题 1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P79

习题3.1 A组5,6

板书