1.2.2 充要条件板书设计及意图

洛阳市第十二中学

1.2.2充要条件

教学设计

【教材分析】：

本节课是在学习了集合、函数、不等式、立体几何、直线与圆、概率、三角函数、线性规划、数列、四种命题及真假关系判断之后的一节逻辑推理课，是多个知识点的综合与交汇课，体现了事物之间相互联系，相互转化的关系；在数学学习和应用的过程中逐步提升学生的综合能力和逻辑思维能力，形成和发展学生多角度看问题的思维品质，为数学解题寻找突破口提供了方法和依据，对数学核心素养的养成起到了一定的推动作用，是数学知识组合的一次革命。

【学习目标】：

1、进一步理解充分条件、必要条件的意义。（巩固提升）

2、

学习理解充要条件的意义

。（重点）

3、了解充要条件的证明步骤，能运用等价转化的思想解决有关问题。（难点）

设计意图：目标学习法，明确学习任务，任务驱动型学习。

【复习引入】

1、同一种逻辑关系的五种表述形式：



“若p，则q”为真命题；



p是q的充分条件，q的充分条件是p 

q是p的必要条件，p的必要条件是q



pq 

pq

设计意图：复习充分条件和必要条件的含义及不同的表述方法，从五个维度审视逻辑关系，为后面的充要条件的引出奠定基础。

【知识形成】充要条件

一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称 条件。充要条件：即充分必要条件。

若命题以p:xA,q;xB的形式出现，则有：若AB，则p是q的充要条件；

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即时训练：用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1）x为自然数是x为整数的 （2）x>3是x>5的 （3）x = 3是x－2x－3=0的 （4）x－4 = 0是x+2=0的 （5）a = 0是ab = 0的 （6）a、b、c成等差数列是2b = a + c的 设计意图：从命题真假，集合的包含关系、能否推出三个角度寻找熟悉易入手的方法进行答题。

【概念辨析】

一般地，若pq ,但qp，则称p是q的___________________条件；

若pq，且qp，则称p是q的___________________条件；

若pq，但qp，则称p是q的___________________条件；

若pq，且qp，则称p是q的___________________条件．

注：（1）条件是相互的；（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：

① p是q的充分而不必要条件；

② p是q的必要而不充分条件；

③ p是q的充要条件；

④ p是q的既不充分也不必要条件．

设计意图：从能推出，不能推出的角度理解充分条件、必要条件。

【探究升华】

如何从原命题和逆命题的真假性理解上述四种关系？

p是q的充分而不必要条件，则原命题为真，逆命题为假； p是q的必要而不充分条件，原命题为假，逆命题为真

p是q的充要条件，则原命题、逆命题都为真，

2

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p是q的既不充分也不必要条件，则原命题、逆命题都为假。

设计意图：培养逆向思维能力，从原命题，逆命题真假的角度理解充分条件、必要条件。

即时训练：下列各组语句中，p是q的什么条件？

（1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0；

（2）p：四边形的四条边相等，

q：四边形是正方形；

（3）p：|x|＜1，q：－1＜x＜1；

（4）p：a＞b，q：a＞b. 设计意图：从命题真假，集合的包含关系、能否推出三个角度寻找熟悉易入手的方法进行答题。

【能力提升】

一、根据逻辑关系求参数的取值范围

例1. p：x∈{x|－1

设计意图：从充分条件、必要条件关系出发推断集合之间

包含关系，从集合的角度寻求参数的取值范围，体现了逻辑关系的逆用。

二、以否定形式给出的命题不易直接解决时，转而判断与之等价的逆否命题：

例2. 已知条件甲：“a＋b≠4”，条件乙：“a≠1且b≠3”，则甲是乙的________条件．

解析：直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误．由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a＝1或b＝3”是“a＋b＝4”的什么条件． 归纳总结：常用的逆否等价法．

①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件； ②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；

③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件．

设计意图：以否定形式给出的命题不易直接解决时，转而判断与之等价的逆否命题，开拓解题思路和方法。

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三、关于充要条件命题的证明：

例3已知x,y都是非零实数，且x>y,求证11的充要条件是xy>0. xy设计意图：关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.学生最大的问题是分不清充分性和必要性的证明应该从哪里开始起步。

【课堂小结】

1、充分、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．

2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性

3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”. 设计意图：归纳总结，提升能力

【课外作业】

1.从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空。

2f(x)xax(x∈R)为偶函数”的 ；

a0⑴“”是函数“⑵“sinsin”是“”的 ；

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log2Mlog2N”的 ；

⑶“MN”是“⑷“x∈MN”是“x∈MN”的 。

2.判定下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件(A)；必要不充分条件(B)；充分必要条件(C))：

⑴p:x23x4;q:x3x4;

( ) ⑵p:x20;q:(x2)(x3)0;

( ) ⑶p:b24ac≥0(a0);q:ax2bxc0(a0)有实数根;

( ) ⑷p:x1是ax2bxc0(a0)的一个根；q:abc0

( ) 3.判断下列命题的真假：

①“acbc”是“ab”的充分条件；

②“acbc”是“ab”的必要条件；

③“ab，cd”是“acbd”的既不充分又不必要条件；

④“acbc”是“ab”的必要条件；

⑤“ac2bc2”是“ab”的必要条件；

⑥“ab”是“ab”的必要条件。

p:2x13,q:1x23x304.已知2432，求p是q的什么条件。

设计意图：巩固课堂学习，拓展应用能力，为课后的反思奠定基础。

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【教学反思】

学生遇到一个问题，最大的障碍就是不知从哪里入手，这归因于学生对题目信息的提取和加工存在问题，即不会审题。所谓审题其实就是“条件的发散，结论的集中”，本节课的教学就是解决条件的转化和发散的问题，为今后的解答数学题提供了方法和转化的方向。

本节课最大的不足是在素材的选取上内容不够广泛，向量、概率、立体几何都没有涉及到，主要是担心因为这些知识的掌握情况影响到本节课的授课效果，冲淡本节课条件相互转化的准确性，给今后的学习埋下隐患。

本节课的教学立足于集合的关系、命题的真假、推理论证三个层面的互化上，例如：下列各组语句中，p是q的什么条件中的（1）p：a＞0，b＞0，q：a＋b＞0；学生可以从推理（不等式的加法运算性质）角度考虑，也可以从集合（线性规划）的角度，发散了学生的思2

维，扩大了解决问题的切入点和突破口；（4）x－4 = 0是x+2=0的必要不充分条件中可以从集合的关系、命题的真假、推理论证三个维度进行考虑；旨在强化学生从多角度看问题的思维方式，把知识融会贯通，形成体系，对重要的数学思想进行感悟，在此基础上积累基本经验，提升对数学的理解和解决问题的能力。

等价转化法是本节课的一个重点，也是难点，设计此类问题的目的是正难则反的原则，学生在一个问题上很不容易阐述清楚可以从它的反面出发能达到四两拨千斤的作用。

由于本节课选取的试题都是知识点比较单一的题目，因此我按照：学生思考-学生说题（说出答案-阐述解题思路-处理问题的方法）-学生点评-教师补充总结，这种低起点，小步子，快反馈的教学流程进行授课，效果较佳。对于后面的大题，采取学生演板，教师点评，补充整合的教学模式，从教学效果上来看，学生对于不等式的求解方面的基础比较薄弱，对于题目的完整性方面也有待加强。