3.1.3 导数的几何意义ppt课件课堂实录

导数的几何意义

本节课教学指导思想与理论依据：

微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期.它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

本节教材选自人教A版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节1.1.3“导数的几何意义”，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容。《新课程标准》要求，微积分教学“返璞归真”，把极限、连续、瞬时速度等概念，建立在朴素理解的基础上，直接由变化率问题得到导数的概念，进而研究导数的几何意义（图形上的直观体现）及导数在研究函数性质中的应用。

本节内容按照先突破一般曲线的切线定义（割线无限逼近的确定位置上的直线就是该点处的切线）；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线→割线的斜率逼近切线的斜率→切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开，从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理。

学情分析：

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。 教法分析：

本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。 学法指导：

1

借助多媒体技术，通过设计环环相扣的探究问题，创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。

【教学目标】

1、知识与技能: 通过实验探求和理解导数的几何意义；

体会导数在刻画函数性质中的作用；体会“以直代曲”的数学思想方法。

2、过程与方法：

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；

通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

3、情感态度与价值观：渗透逼近和“以直代曲”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力学生学数学，用数学的意识。

【教学重点、难点、关键】

教学重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数“形结合、以直代曲”的思想方法。

教学难点：1)发现和理解导数的几何意义；

2)运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

关键：师生一同探究和理解导数的几何意义

【主要教学方法及学法】

教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性研究教学、互动式讨论、反馈式评论和启发式小结；

2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点；

学法：自主、合作、探究

【教学准备】通过多媒体（几何画板、幻灯片）直观的呈现出函数的图像，使学生对其有丰富的感性认识，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

2

【知识结构图】

数：

平均变化率

形：

割线的斜率

类

比

数形结合

瞬时变化率

导

数

应

用

切线的斜率

导数的几何意义

切线方程

割

线

逼

近

切

线

【教学过程】

教

学

过

程

一、创设情境、导入新课

1.回顾旧知、引出研究的问题：

（1）已知y=f(x)=yf(x)x，求f(1)

问：①

f"(1)表示什么意思

②求导数的步骤有哪几步?

fxxf(x0)生：第一步：求平均变化率y0；

xxfxxf(x0)第二步：求瞬时变化率f(x0)lim0. x0x2"设

计

意

图

老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。

教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

（即x0，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）

．．．．．．．． (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数yf(x)的图象，平均变化

fxxf(x0)率y0

的几何意义是什么？

xx突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？

生：平均变化率表示的是割线PPn的斜率

3

二、引导探究、获得新知

1.得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化趋势， ．．．．．．．◆多媒体显示：

曲线上点P处的切线PT和割线PPn，演示点Pn从右边沿着曲线逼近点P ,即x0，割线PPn的变化趋势。

以求导数的两个步骤为．．．．．．．．．依据，从平均变化率的几．．何意义入手探索导数的几何意义，抓住x0的联系，在图形上从割线入手来研究问题。

用逼近的方法体会割线逼近切线。

教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？

生：先观察后发现，当x0，随着点Pn沿着曲线逼近点P，割线PPn无限趋近于点P处的切线。

当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线

根据切线定义可知：x0，割线PPn趋近于切线PT

。那么割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k又有何关系？

4

肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫。

当x0,则

knk,klim即klimknx0

x0fx0xf(x0)f(x0) x通过两个思考问题：（1）先解决割线斜率与 生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：切线斜率的关系

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

klimx0fx0xf(x0)f(x0)

x3.得出导数的几何意义

函数 y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义

就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，

（2）再对照平均变化率与瞬时变化率的关系，自然得出切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数。

f(x0)

即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

yf(x0)f(x0)(xx0)

三、对导数的几何意义的应用。

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 练习1：求函数f(x)2x3在x=1处的切线方程。

例2.在曲线y=x2上过哪一点的切线

1.平行于直线y=4x-5 2.垂直于直线2x-6y+5=0 练习2、曲线y平行？

四、课后巩固练习：

5

通过讲题，练题使学生对导数的几何意义的应用达到熟练

题型总结明确

32x上哪一点的切线与直线y3x1 2

1.已知函数y=f（x）的图像在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y+1=0，则 f(1)2f'(1)的值是 2.已知曲线f(x)=x2+1。 （1）求曲线在点P（1,2）处的切线斜率及切线方程

（2）过点A（1，-2）作该曲线的切线，求该切线方程。 （3）已知曲线

y=f(x)=x2+1上一点P，在点P处的切线斜率为 2 ，求点P的坐标。

教学反思：

首先在割线无限趋近于切线时，引导不明确，导致学生无法回答，概念耽误时间太多。应该注意对概念的剖析和引导。

在题型辨析的时候，题型明确，但是重复计算的内容太多，耽误时间（但是培训计算能力和耐心）。应该增加一些其他变式。（重在掌握题型，该处计算导数在后面公式学完之后简化）

在例题中的点在曲线上，和点不在曲线上，最好画图让学生去感知一下，不应该只停留在数上面，应该数形结合，让学生给去感知。

给予学生更多的时间思考和更多的动手机会，不能老师一直叙述。

6