习题2.4教学目标

2.4.1抛物线及其标准方程

一、背景分析

课标要求

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆，抛物线模型的过程，掌握椭圆，抛物线的定义、标准方程及简单性质。

（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的有关性质，体会数形结合的思想。

（4）了解圆锥曲线的简单应用。

本节课在圆锥曲线中的地位：

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容。而抛物线在圆锥曲线中地位仅次于椭圆而高于双曲线，抛物线在初中以二次函数的形式初步探讨过，本节内容安排篇幅不多，并非不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是可以接受的，它是高考的重要考察内容，要引起师生足够的重视。

学习任务分析

（1）、通过实验，结合几何画板课件，观察、发现和认识抛物线。

（2）、坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。

通过几何画板动态演示建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性。

（3）、由抛物线的标准方程，熟练写出焦点坐标、准线方程；反之也会。

（4）、放手让学生类似地推导开口向左、向上、向下的情况下的标准方程。让学生根据课件展示的图形填充表格、对比异同。

（5）、p的几何意义：它指抛物线焦点到准线的距离，因此p>0。在抛物线中，负号只管抛物线的开口方向，与p无关。

（6）、由于学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难，教学中应根据图形培养学生运用三种语言的能力。借助图形使原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆。

，

学生情况分析

在经过高一的学习和训练后，大多同学有较扎实的数学基本功和较好的理解力，有一定的自主学习能力，但在数学思想方法的形成上尚有不足，针对我所带班级学生的学习情况和数学素养，我把本节内容借助powerpoint、几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识。

二、教学目标设计

根据课程标准和考试大纲的要求、教材的具体内容和学生认知心理，我确定本堂课的教学目标如下：

1、知识与能力

①

让学生理解抛物线的概念及与椭圆、双曲线第二定义的联系。

②

让学生掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。

2、技能与方法

①

培养建立适当坐标系的能力。

②

培养学生的观察、比较、分析、概括的能力。

3、情感态度与价值观

①

培养学生的探索精神。

②

渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。

4教学重点和难点

根据以上所说的教材的地位、作用、内容与学生情况，我确定教材重点、难点如下：

（1）、教学重点：

①选择适当坐标系探求抛物线的标准方程。

②标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。

（2）、教学难点：

①应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题。

②选择适当坐标系求抛物线的标准方程。

③正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言及其相互转化。

三、教学媒体设计

1手动实验演示：所需教具：直尺，三角板，拉链，图钉，粉笔。

2多媒体辅助教学，PPT

利用教具手动演示绘图过程可使学生参与到教学中，使学生有自主学习的意识，并且完成图形的过程中，学生提高学习自信心，从而对数学科目增加了学习兴趣，课件的介入可以增强课堂的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效的解决教学重点。本课程课件主体用powerpoint制作，其中链接几何画板课件，在美观、动静结合中完成教学任务，可以达到较高的教学效果、学习效果；通过实验探索、类比法、图表法能较好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性，总之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。 四、教学过程设计

(一)：

创设情境，引入新课：

1，展示图片，学生思考图中都有哪些几何图形，什么特点？(课件展示图片) 2，思考学习椭圆和双曲线时老师课堂在黑板上利用教具都用怎样的方法画出椭圆和双曲线的图形？

3，根据以下方法，画出的图形会是什么，？

(此过程请一个学生上黑板辅助老师完成，并请学生回答图形特点) 如图，在黑板上画一条直线AB，使直尺与直线AB重合，然后取一个三角板，将一条拉链CD固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端用图钉固定在F点，将三角板的另一边直角边贴在直线AB上，在拉练M处放置一只粉笔，上下沿直线拖动三角板，粉笔会画出一条曲线。

思考? 1为什么是拉链，而不是任意的两根绳子?

回答：拉链可保证两段线的距离相等，绳子还的测量，操作不方便。

2为什么三角形的一条直角边要和直线AB重合? 回答：保证是垂直距离。

从而得出抛物线的图形特点，仿照椭圆与双曲线的第二定义，要求学生说出抛物线的定义。

(二)、概念分析

1、

抛物线定义：

平面内与一个定点线上），定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点不在定直叫抛物线焦点，定直线叫做抛物线的准线。

至此可以总结出圆锥曲线的统一定义：即他们都是平面内与定点F和定直线的距离之比是常数的轨迹，定点叫焦点，定直线叫做准线。

（此处利用几何画板展示当e变化时，图形的变化，使学生深刻体会定义）

2、推导抛物线的标准方程：

对于已经在几何画板中画出的抛物线，建立适当的直角坐标系。

设抛物线上任意一点M的坐标为（x，y），定点F到定直线的距离为p，由已知动点M（x，y）到定点F的距离|MF|与动点M（x，y）到直线的距离d之比为1，转化出关于x、y的等式，化简即得到抛物线的标准方程。

三种建系思路：

（1），以准线为y轴，过焦点垂直准线的线做x轴

以l为y轴，过点F且垂直于l的直线为x轴

建立直角坐标系，则点F（p ,0）．

设动点M（x,y),由抛物线定义得

，

（2），x轴不变，以过焦点垂直于x轴的线做y轴

以定点F为原点，过点F且垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系

则点F（0 ,0）, l 的方程为x= - p

．

设动点M（x,y),由抛物线定义得

化简的，（3），x轴不变，以右图（1）方式做y轴。

取过点F且垂直于l

的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，

则点F（

,0），l的方程为 设动点M（x,y),由抛物线定义得

， 化简的

（此处要求学生自己观察三种推到方法，并观察方程的特点，让学生自己体会哪种方法推倒的方程更容易记忆理解，从而得出方程的标准形式）

注意强调：

① p的几何意义；

②

已知抛物线的标准方程（p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程；

③

已知抛物线焦点F（ ，0）或准线方程（p>0），迅速写出其标准方程。

3探究其他开口方向的抛物线的标准方程

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置(即:开口方向)不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.此处要求学生仿照上面的推倒方式完成开口向左，向上，向下的抛物线的方程的推倒，采用分组研讨的方式，全班分成六组，每两组研究一种开口方向，老师板书如下表格，挑选三组的代表口述，老师板书完成表格。

标准

方程

图

形

y2=2px

（p>0）

y2=-2px

（p>0）

x2=2py

（p>0）

x2=－2py

（p>0）

焦点

坐标[ 准线

方程

（，0）

（，0）

（0，）

（0，）

x=

x=

y=

y=

相同点： 1、原点在抛物线上

2、对称轴为坐标轴；

3准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即

。

4、焦点到准线的距离均为不同点：1、一次项变量x（y），则对称轴为x（y）轴；

2、焦点在x（y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在x（y）轴的负半轴上，开口向左（向下），

(三)、典例剖析

例题（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。

(此例题训练学生能从标准方程找出抛物线的焦点和准线线，即由方程求条件。反之由条件推方程) 变式

1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

①焦点F（4，0）；

②焦点F（0，－4）；

③准线方程为；

④准线方程为；

⑤焦点到准线的距离为；

⑥焦点在直线上

2.求过点A（-3，2）的抛物线标准方程。

(以上变式训练学生的逆向思维，要求学生熟练掌握抛物线的方程与焦点准线的关系，会互相求解关于方程的焦点准线的相关题型) 课堂练习（书64页：）

1，求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）x2=

（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 2，根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是F（3，0）；

（2）准线方程

是x =；

（3）焦点到准线的距离是2，

(四)、课堂小结：

1，图形的画法

2方程的推倒

3表格内容的总结

（教学过程整体回顾一遍，有助学生理解课程的思路，对知识性内容列表小结，方便学生比较记忆，可把知识尽快化为学生的素质；对数学思想方法的小结，可使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和作用）

( 五)、课后作业：

1.抛物线的焦点坐标是( ) (A) (D)

2、顶点在原点，准线方程为y=2的抛物线的标准方程是：（ ）

A B

C 和到定直线 D

3.平面上到定点距离相等的点的轨迹为( ) (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆

4.焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程 （作业设置共4道题，其中1，2题为必做题，为基础题型，学生都必须掌握，3题4题为选做题，学有余力的学生可以做，并且作为下一节课的例题练习当堂解决，使学生可以提高知识难度，拔高学习层次，以应对高考的复杂题型。）

(六).板书设计：

抛物线及其标准方程

一.黑板教具作图

二、定义

三.标准方程的四种

形式（列表）

不同建系方法推倒：

法三：

三、例题讲解

1、例1，2 2、变式训练