1.3.1 且（and）ppt课件课堂实录

§1.3

简单的逻辑联结词

学习目标

1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.

知识点1

且或非

(1)且

“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q. (2)或

“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q. (3)非

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”.

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“x≥1”是“p且q”的形式.(

) (2)命题“三边长分别为1，1，2的三角形是等腰直角三角形”是“p或q”的形式.(

) (3)“x，y全都大于0”的否定是“x，y全不大于0”.(

) 提示

(1)命题“x≥1”是“x＞1或x＝1”，是p或q的形式，故(1)错. (2)“等腰直角三角形”是指既是等腰三角形，且是直角三角形，是“p且q”的形式，故(2)错. (3)“x，y全都大于0”的否定应是“x，y不全都大于0”，故(3)错. 答案

(1)×

(2)×

(3)×

知识点2

含有逻辑联结词的命题的真假判断

p 真

真

q 真

假

p∨q 真

真

p∧q 真

假

綈p

假

假

假

假

【预习评价】

真

假

真

假

假

假

真

真

思考

(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？

(2)命题的否定与否命题有什么区别？

提示

(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有. (2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.

题型一

p∧q命题及p∨q命题

【例1】

分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假. (1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；

(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；

(3)p：3是无理数，q：3是实数；

(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等. 解

(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；

∵p真，q假，∴p∧q为假. p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；

∵p真，q假，∴p∨q为真. (2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；

∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；

∵p真，q真，∴p∨q为真. (3)p∧q：3是无理数且是实数；

∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q：3是无理数或是实数；

∵p真，q真，∴p∨q为真. (4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；

∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；

∵p真，q真，∴p∨q为真. 规律方法

(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断. (2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假. 【训练1】

指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：

(1)李明是男生且是高一学生. (2)方程2x2＋1＝0没有实数根. (3)12能被3或4整除. 解

(1)是“p且q”形式. 其中p：李明是男生；q：李明是高一学生. (2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根. (3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除. 题型二

綈p命题

【例2】

写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形；

(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；

(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0. 解

(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.

(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零. (3)若xy＝0，则x≠0且y≠0. 规律方法

綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等. 【训练2】

写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：y

＝

sin x

是周期函数；

(2)p：3＜2；

(3)p：空集是集合A的子集；

(4)p：5不是75的约数. 解

(1)綈p：y

＝

sin x不是周期函数.命题p是真命题，綈p是假命题；

(2)綈p：3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；

(3)綈p：空集不是集合A的子集.命题p是真命题，綈p是假命题；

(4)綈p：5是75的约数.命题p是假命题，綈p是真命题. 互动探究

题型三

p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用

【探究1】

若“p∨q”与“綈p”同时为真命题，那么能否判定命题p与q的真假？

解

由“綈p”是真命题可知p是假命题，又因为“p∨q”是真命题，所以q是真命题. 【探究2】

若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，能否判定命题p与q的真假？

解

不能判定，只能得到p与q其中一个是真命题，另一个是假命题. 【探究3】

已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减，q：曲线y＝4x2－4c(x1＋2)＋c2＋1与x轴交于不同的两点，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围. 解

方法一

∵函数y＝cx在R上单调递减，

∴0

Δ＝16c2－16(c2－2c＋1)>0. 11解得c>2，令B＝c|c>2. 1根据题意，如果p真，q假，则0

如果p假，q真，则c≥1，

10，∴c的取值范围为∪[1，＋∞). 2方法二

同方法一求得A，B，问题等价于求集合

1[(∁RB)∩A]∪[(∁RA)∩B]＝0，2∪[1，＋∞). 1∴c的取值范围为0，2∪[1，＋∞). 规律方法

由真值表可判断p∨q，p∧q，綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p，q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集. 【训练3】

已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围. 解

∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假. 由a2－4>0得a>2或a<－2. 由4(a－4)2－4×4<0得22或a<－2，①若p真q假，则有

a≤2或a≥6，∴a<－2或a≥6；

－2≤a≤2，②若p假q真，则有通过分析可知不存在这样的a. 2

课堂达标

1.若p是真命题，q是假命题，则(

) A.p∧q是真命题

C.綈p是真命题

B.p∨q是假命题

D.綈q是真命题

解析

根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确. 答案

D 2.给出下列命题：

①2>1或1>3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；

③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集. 其中真命题的个数为(

) A.1

B.2

C.3

D.4 解析

①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；

②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；

③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；

④由于(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆(A∪B)，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题. 答案

D 3.已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，

p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数. 则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，为真命题的是(

) A.q1，q3

B.q2，q3 C.q1，q4

D.q2，q4

解析

p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；

∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，

q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题.

∴为真命题的是q1，q4. 答案

C 4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是(

) A.p假q真

B.“p∨q”为真

D.“綈p”为真

C.“p∧q”为真

解析

由(x＋2)(x－3)<0得－2

∵1∈(－2，3)，∴p真. ∵∅≠{0}，∴q为假，

∴“p∨q”为真. 答案

B 5.命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则(

) A.p真q假

B.p∧q为真

C.p∨q为假

D.p假q真

解析

命题p假，命题q真. 答案

D 课堂小结

1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个. 2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：

(1)逐一判断命题p，q的真假. (2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假. p∧q为真⇔p和q同时为真，

p∨q为真⇔p和q中至少一个为真. 3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁Up.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真. 4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.

基础过关

1.已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是(

) A.“p∨q”为假，“綈q”为假

B.“p∨q”为真，“綈q”为假

C.“p∧q”为假，“綈p”为假

D.“p∧q”为真，“p∨q”为假

解析

显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B. 答案

B 2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若p：2∈(A∪B)，则“綈p”是(

) A.2D∈

A

/

B.2D∈

∁SB

/D.2∈(∁SA)∩(∁SB) C.2D∈

(A∩B)

/解析

p：2∈(A∪B)，綈p：2∈∁S(A∪B)，

即2∈(∁SA)∩(∁SB). 答案

D 3.设a，b，c是非零向量.已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(

) A.p∨q

B.p∧q

D.p∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q)

解析

方法一

命题p中，取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题. 命题q中，a，b，c是非零向量，

由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，

∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题. 综上可知：p∨q是真命题，p∧q是假命题.

又∵綈p为真命题，綈q为假命题，

∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题. 方法二

命题p中，由于a，b，c都是非零向量，a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，

∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，

∴命题p是假命题，∴綈p是真命题.命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；

b∥c，则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题. 答案

A 4.命题“若a

命题“若a

答案

若a≥b，则2a≥2b

若a

b5.若命题p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－a}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a

因为命题p，q均为假命题，

所以“p或q”“p且q”均为假命题，而“非p”为真命题. 答案

非p

6.判断下列复合命题的真假. (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；

(2)不等式x2－2x＋1＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅. 解

(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p

且q”为真，所以该命题是真命题. (2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题. 7.已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”

是假命题，求实数a的取值范围. 解

由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0. 21显然a≠0，∴x＝－a或x＝a. 若命题p为真，

21∵x∈[－1，1]，故－a≤1或a≤1，

∴|a|≥1. 若命题q为真，

即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，

即函数y＝x2＋2ax＋2a的图象与x轴只有一个交点. ∴Δ＝4a2－8a＝0，

∴a＝0或a＝2. ∵命题“p∨q”为假命题，

∴a的取值范围是{a|－1

8.已知命题p：若a＝(1，2)与b＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q：∀k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0相交.则下面结论正确的是(

) A.(綈p)∨q是真命题

C.p∧q是假命题

B.p∧(綈q)是真命题

D.p∨q是假命题

|0|k2＋1解析

命题p为真，命题q：圆心(0，1)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝<1，命题q是真命题.故(綈p)∨q是真命题. 答案

A

ex－19.给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(x＋1)]为偶函数；命题q：函数y＝x为偶函e＋1数，下列说法正确的是(

) A.p∨q是假命题

C.p∧q是真命题

B.(綈p)∧q是假命题

D.(綈p)∨q是真命题

解析

p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，

又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p为真；

ex－11－exq中，f(－x)＝－x＝＝－f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，

e＋1ex＋1－故q为假，故(綈p)∧q为假. 答案

B 10.已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α∥平面β.对以上两个命题，下列结论中：

①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假. 其中，正确的是________(填序号). 解析

命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交，命题q也是假命题，这两个平面α，β也可能相交. 答案

②

11.设p：关于x的不等式ax＞1的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是________. 1解析

若p真：A＝{a|0＜a＜1}，若q真：B＝{a|a＞2}，由题意，得p与q一真一假，

0＜a＜1，a≤0或a≥1，1则或1即0＜a≤2或a≥1. 1a≤a＞，221答案

0＜a≤2或a≥1

12.设命题p：f(x)＝2在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q：x1，x2是方程x2x－m－ax－2＝0的两个实根，且不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意的实数a∈[－1，1]恒成立，若(綈p)且q为真，试求实数m的取值范围. 解

命题p为真时：x－m≠0，又f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，

故m≤1，

命题q为真时：|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝a2＋8，

对a∈[－1，1]有a2＋8≤3，

∴m2＋5m－3≥3⇒m≥1或m≤－6. 若(綈p)且q为真，则p假q真，

m＞1，∴

m≥1或m≤－6.∴m＞1. 13.(选做题)已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围. 解

命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根为真，等价于

⇔－2a>－2，解得a≤－1. x1＋x2>－2，（x1＋1）（x2＋1）>0，2－2a>0，a>0，命题q：关于x的不等式ax－ax＋1>0的解集为R为真，等价于a＝0或

Δ<0.2Δ＝4a2－4≥0，a2－1≥0，a>0，a>0由于⇔解得Δ<0a2－4a<0，0

所以0≤a<4. 因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，

a≤－1，所以解得a≤－1. a<0或a≥4，

故实数a的取值范围是(－∞，－1].