5.3 同角三角比的关系和诱导公式教学目标设计

城郊中学 导学案No.004 高一数学必修四（人教版）

第4课时

同角三角函数的基本关系及其计算

1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式. 2.掌握三种基本关系式之间的联系. 3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法. 4.根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明. 计算sin23cos23,sin26cos26,sin24cos2,4

sincos

3,3sincos6,6sincos4错误！未找到引用源。的值,并由此猜想出一般结论. 4

问题1: 根据情境我们可以猜想到sin2α+cos2α=

,tan α=

. 证明如下:设角α的终边与单位圆的交点为P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为yM,则sin α=y,cos α=x,tan α=错误！未找到引用源。(x≠0). x根据勾股定理知:|PM|2+|OM|2=|OP|2,即

y2+x2=1. 所以sin2α+cos2α=

,我们把这个公式称为平方关系; y把sin α=y,cos α=x代入tan α=(x≠0)中得到tan α=

,我们把这个公式x称为商数关系,其中α必须满足的条件是

.

问题2:平方关系和商数关系是同角三角函数中两个重要公式,它们阐述了“同角不同名”的三角函数规律,其精髓在“同角”二字上. “同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达式无关. a如:sin23α+cos23α=

,tan=

,而sin2α+cos2β=1不一定成立. 2问题3:在根据角α已知的三角函数值求其他的三角函数值时,要注意角α所在的象限,若没告诉角α所在的象限,则需对角α所在的象限进行讨论,如:

1

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11已知cos α=错误！未找到引用源。,求sin α,tan α的值.

因为cos α=>0,所33以α是第一或第四象限角. 当α是第一象限角时,计算得到sin α=

,tan α=

; 当α是第四象限角时,计算得到sin α=

,tan α=

.

问题4:在进行同角的化简、证明与计算时,常用到两种方法,一是切化弦思想,即把正切利用公式化成正弦、余弦来表示,二是弦化切思想,即把代数式中的正弦、余弦转化为正切表示,这种方法在齐次分式的化简中用得较多,包含灵活运用sin2α+cos2α=1.

如:用

tan α表示sin2α、cos2α, sin2sin==

; 22sincos2cos2cos==

; sin2cos22sincos=sincos=

; 22sincos

利用同角三角函数关系式求值

(1)已知

(2)若tan α=1,求

2 1

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利用同角三角函数关系式进行化简

化简tana

11,其中α是第二象限角. sin2a利用同角三角函数关系式进行恒等式证明

求证:错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。tanasinatanasinatanasinatanasina.

1(1)cos x-sin x=,则cos3x-sin3x=

. 2

(2)若tan α=2错误！未找到引用源。.

求:①②2sin2α-sin αcos α+cos2α的值.

3 sinacosa的值;

cosasina

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化简错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(0<α<错误！未找到引用源。).

求证:

12sinxcosx1tanx.

221tanxcosxsinx

4

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第4课时

同角三角函数的基本关系及其计算测试题

1.下列结论中成立的是(

). 11sina1

A.sin α=且cos α=

B.tan α=2且22cosa3

C.tan α=1且cos α=2

2

D.sin α=1且tan α·cos α=1

2.化简(tanx1)cos2x的结果为(

). tanx

A.tan x

D.cos x B.错误！未找到引用源。1

tanxC.sin x

3.（1）已知α是第四象限角,cos α=12,则sin α等于(

). 13

A.错误！未找到引用源。5

1255

B.

1313C.5

12D.

（2）若cos α=41,α是第三象限角,则sin α=

,=

. 5tana44.已知sin x=错误！未找到引用源。,x∈(0,π),则tan x=

. 5

5.已知sin α=-2cos α,则sin α=

,cos α=

. 6.已知tana

5 3,a3,求cosasina的值.

2

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7.已知sin α=42m错误！未找到引用源。,cos α=错误！未找到引用源。,α是第m5四象限角,求tan α的值.

8.已知sin α+cos α=13错误！未找到引用源。,求tan α+错误！未找到引用tana3源。及sin α-cos α的值.

9.化简

1+sina1sina1sina，其中a为第二象限角.1sina

10.求证：(1)tan2a-sin2atan2asin2a(2)sin4xcos4x1-2sin2xcos2x

6