6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质优质课教案

数学 教案

执教者：刘阳阳

教材名称：高级中学课本（数学）

编者与出版日期：

袁震东

2015.5

授课班级

授课时间

主要内容

授课课时

1 正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）

学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几知识目标

何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力. 教学目标

能力目标

情感目标

会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；掌握正弦函数图象的“五点作图法”；掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换. 让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合;渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动静的辩证关系. 教学重点

“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象

教学难点

运用几何法画正弦函数图象

教学资源

教材、多媒体课件

教学成果

通过对实际问题的研究解决，提高学生学习数学的兴趣，使学生对所学内容有更深的了解.

项目

课程

引入

主要教学步骤与内容

1.复习旧知；2.生活实例

正弦函数和余弦函数的概念

授课方法

交流

课时

5 教讲授

学设计

交流与小结

新课

正弦函数和余弦函数的图像

例题举隅

巩固练习

1. 正弦函数和余弦函数的概念；

2. 正弦函数和余弦函数的图像： （1）利用正弦线作正弦函数的图象（精确）； （2）运用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象（简图）； 3. 正弦函数和余弦函数图像的一些简单变换 . 练习册6.1A组第1、2题；B组第1、2题. 目标达成

讲述、体验

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1 作业布置

教学反馈

1 教学后记

教学过程与内容

一、新课引入

1.复习旧知

（1）函数的概念

在某个变化过程中有两个变量x、y，若对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是x的函数，记作yfx，xD。

（2）三角函数线

设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于T.

规定：当OM与x轴同向时为正值，当OM与x轴反向时为负值；

当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；

当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；

这几条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT叫做角的正弦线、余弦线、正切线. 2.生活实例

（1）沙漏的简谐运动轨迹；

（2）声波：任何复杂的声波都是多种正弦波叠加而成的.

- 1 -

二、新课讲授

1、正弦函数、余弦函数的概念

（1）正弦函数：ysinx,xR

（2）余弦函数：ycosx,xR

概念生成：

任意一个实数x都对应着唯一确定的角(在弧度制中其弧度数等于这个实数x)，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx(或余弦值cosx)。

这样，对任意一个实数x都有唯一确定的值sinx(或cosx)与它对应。

按照这个对应法则所建立的函数，表示为ysinx (或ycosx)，它叫做正弦函数

(sine function)(或余弦函数(cosine function))

【问题思考】——如何作出正弦函数ysinx,xR、余弦函数ycosx,xR的函数图象？

2.正弦函数的图像

（1）几何描点法：

①ysinx,x0,2的图像

步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；

步骤2：描点——平移定点，即描点x,sinx；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

②ysinx,xR的图像

由sin2kxsinx,kZ，所以函数ysinx在区间2k,2k2kZ,k0上的图像与在区间

0,2上的图像形状一样,只是位置不同. 于是我们只要将函数ysinx,x0,2的图像向左、右平行移动(每次平行移动2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysinx,xR的图像。

- 2 -

（2）五点作图法： 步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；

步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点.

小结：ysinx,x0,2的五个关键点是0,0、

3、余弦函数的图像

（1）图像平移法：ycosx,xR

3,1、,0、,0、2,0. 22ysinx,xR，可知只须将的图像向左平移即可. cosx22（2）五点作图法：ycosx,x0,2 由sinx步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；

步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结：ycosx,x0,2的五个关键点是0,1、3,0、,1、,0、2,1. 22【注】正弦函数、余弦函数的作图

（1）几何描点法（精确但步骤繁琐）；

（2）五点法（重点掌握）； （3）平移法.

三、例题举隅

例1、作出函数y1sinx,x0,2的大致图像.

解：①列表

x

0

3



2

220

1

- 3 - sinx

0

1

0

1

y1sinx

1

2

1

0

②描点

在直角坐标系中，描出五个关键点：

30,1、

,2、,1、,0、2,1；

22③连线

【设计意图】考察利用“五点法”作正弦函数；渗透三角函数的平移变换.

例2、作出函数ycosx,x0,2的大致图像. 解：①列表

3



2

22ycosx

1

0

1

0

1

②描点

在直角坐标系中，描出五个关键点：

3、、,1,0、2,1；

,00,1、

22③连线

【设计意图】考察利用“五点法”作正弦函数；渗透三角函数的对称变换.

四、巩固练习：

x

0

3练1、在同一坐标系内，用五点法分别画出函数ysinx,x0,2和

ycosx,x,的简图，并说出它们之22间的关系.

四、知识总结

1. 正弦函数和余弦函数的概念；

2. 正弦函数和余弦函数的图像： （1）利用正弦线作正弦函数的图象（精确）； （2）运用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象（简图）； 3. 正弦函数和余弦函数图像的一些简单变换 .

五、作业布置

练习册6.1A组第1、2题；

练习册6.1B组第1、2题.

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