6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教学实录

函数yAsin(x)的图像与性质（1）

理科实验班

余朝

【学习目标】

要求学生会用五点法画出函数y=Asinx、y=Asinωx、

y=sin(x+φ)和y=Asin(ωx+φ)的图象，明确A、ω与φ对函数图象的影响作用，会用图形变换方法和五点法分别画出的图象。

【要点回顾】

性质

函数

y＝sinx 定义域

值域

周期性

奇偶性

单调区间

【学习过程】

一、新课引入

先看两个引例

1、我们把摩天轮画成一个圆，摩天轮的轴心O作为圆心。

过圆心在此圆所在平面内作一平面直角坐标系，其x轴与

地平面平行，y轴与地平面垂直，摩天轮的近地点为A，

如图所示，考察摩天轮上吊篮与轮环的某一个连接点P0。

设摩天轮的半径为R，起始时OP0与Ox的夹角BOP0

OA y P 

B x P0（图中的取负值），OP0绕O按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分）。经过t分钟后点P的纵坐标y关于t的函数关系式是

。

2、在物理学中，也存在着形如yAsin(x)的函数，如简谐振动中质点的位移s与时间t的函数sAsin(t)，其中A、、都是常数，具有特殊的意义。

二、函数yAsin(x)(A0,0)的图像与性质研究

例1、在同一平面直角坐标系中，作出函数y2sinx和ysinx(xR)的大致图像，通过图像说明它们与ysinx的关系。

解：由于周期T=2

∴不妨在[0,2]上作图，列表：

12x sinx 2sinx 1sinx 20 0 0 0 

2

1 0 2 0 3

2－1 －2 －1

2

0 0 0

1

20 2

y=2sinx

y

2 1 1 0O-1 

-2 2 y=sinx 1y=2sinx 

1

22

x

y2sinx和ysinx(xR)的周期、奇偶性和单调区间、最值以及取得最值写出函数的y x 2时的x的集合。

引导,观察,启发：

与y=sinx的图象作比较，结论：

1．

y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点

的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

2．它的值域[－A, A]，最大值是A, 最小值是－A 3．若A<0 可先作y=－Asinx的图象

，再以x轴为对称轴翻折。

我们把正数A称为该正弦型函数的振幅，正弦型曲线在yA和yA

之间往复振动，A越

，振动幅度越大，A越

、振动幅度越小。

函数yAsinx(A0,A1)的图像可以由函数ysinx的图像变换得到，

这种变换称作振幅变换。

x(xR)的周期T1和T2，在同一平面直角坐标系中，2x作出函数ysin2x，x[0,T1]和ysinx[0,T2]的大致图像。

2例2、分别求函数ysin2x和ysin解：∵函数y=sin2x ，周期T= ∴在[0, ]上作图。令X=2x，则x=列表：

X=2x x sin2x

y 0 0 0 x，从而sinx=sin2x 221



3

23

4－1 2



0 y=sin1x 2

4

20 y

0 1 

O



y=sin2x 2

234

4x x

y=sinx

函数sinx，周期T=4，∴在[0, 4]上作图 2

0 0 列表 xX=

2x



2

1

0



2

3

2

2

4

0

3

－1 sin

x

0 2

引导, 观察启发

与y=sinx的图象作比较 1．

函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦

曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

1倍（纵坐标不变）

2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。

我们把正数叫做角速度。函数的周期是T2

越大，

周期越小，在一定区间内正弦型曲线振动的次数越多，越小，

周期越大，在一定区间内正弦型曲线振动的次数越少。

我们把在单位时间内曲线振动的次数叫做该正弦型曲线的频率，

记作f，f1。

T2函数ysinx(0,1)的图像可以由函数ysinx的图像

变换得到，这种变换称作周期变换。

例3、在同一平面直角坐标系中分别作出函数ysin(x)和

4ysin(x)在一个周期内的大致图像，并说明它们与

4ysinx的图像的关系。

ysin(x)和ysin(x)的周期都为

。

44

y x O

当0，将ysinx图像上每一点向左平移

个单位，就得到ysin(x)的图像，

当0，将ysinx图像上每一点向右平移

个单位，就得到ysin(x)的图像。

函数ysin(x)的图像可以由函数ysinx的图像变换得到，这种变换称作相位变换。

演变：作出函数y3sin(2x)在长度为一个周期的闭区间上的大致图像，并说明它的图像是由函数ysinx的图像经过怎样的变换得到的？说出它的振幅、周期、频率、初相。

例4、自测题４、要得到函数ysin像

( ) πＡ、向左平移个单位 3πＣ、向左平移个单位 6自测题5、函数yf(x)的图像向左平移πＢ、向右平移个单位

3πＤ、向右平移个单位

6411x的图像，只需将函数ysinx的图622个单位后与函数ysin2x的图像重合，则6yf(x)的解析式是 ( ) Ａ、f(x)cos(2x) Ｂ、

f(x)sin(2x)

33) Ｄ、f(x)sin(2xＣ、f(x)cos(2x33)

分析：带周期的相位平移，应该先把周期系数提出，再相位平移。

三、课堂小结：

1、突出A, ω, φ的作用

2、强调y=Asin(ωx+φ)图象的平移步骤及五点法

作业：

1、

iMath 88页，1-10题；

2、

iMath 89-91页，预习和自测.