1.1.3 四种命题间的相互关系名师教学视频（文字实录）

§1．1.3 四种命题间的相互关系

【学情分析】：

四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．

【教学目标】：

（1）知识目标：

理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：

让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：

通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

【教学重点】：

四种命题之间的关系；

【教学难点】：

利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。 【教学过程设计】

一、温故知新

1、命题的含义

一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2、四种命题的形式

原命题：若 p,则q逆命题：若 q,则p否命题：若 p,则q逆否命题：若 q,则p

练习: 写出下列四个命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1) 若a, b都是偶数，则a+b是偶数；

(2) 若m>0, 则方程x2+x-m=0有实数根.

练习: 写出下列两个命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1) 若a, b都是偶数，则a+b是偶数；

(2) 若m>0, 则方程x2+x-m=0有实数根.

思考：在上例中, 你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

二、新知探究

1、四种命题的相互关系

互逆原命题逆命题

若p则q若q则p互

否为逆互互

否否逆

为否命题若┐p则┐q互互逆否逆否命题若┐q则┐p

探究

1). 以“若x2-3x+2=0, 则x=2”为原命题，

写出它的逆命题、否命题与逆否命题,

并判断这些命题的真假. 2). 分析其他的一些命题，你能从中发现

四种命题的真假性间有什么规律吗？

四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 2、四种命题的真假性

四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 【例1】证明: 若x2+y2=0, 则x=y=0 【例2】已知a，b，c是不全相等且全不为0的实数,

求证: 在ax2＋2bx＋c＝0、bx2＋2cx＋a＝0和cx2＋2ax＋b＝0这三个一元二次方程中，至少有一个方程存在两个不相等的实根．

【拓展练习】若三个方程x2－4ax－4a＋3＝0，

x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围. 三、课堂小结

1. 四种命题中任意两种命题的关系都具有相互性，其中有两组互逆命题，两组互否命题，两组互为逆否命题.

2. 原命题与逆否命题同真同假，即原命题与逆否命题等价，这是反证法的理论依据. 四、课后练习

1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（

）

A．真命题，

B．

假命题，

C．不一定是真命题，

D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（

）

A．真命题的个数一定是奇数

B．真命题的个数一定是偶数

C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D．上述判断都不正确

3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( ) A．逆命题、否命题、逆否命题都为真 B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假

C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真

4．有下列四个命题：

①“若xy1,则x,y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题

③“若b0，则关于若x的方程若x④“A22bxb2b0有实根”的逆否命题

BB，则AB”的逆否命题

其中，真命题的个数是（

）

A．

0

B．

1

C．

2

D．3 *5．用反证法证明命题“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）

A．a、b都能被5整除

B．a、b都不能被5整除

C．a不能被5整除

D．a、b有一个不能被5整除

6．下列4个命题是真命题的是（

）

①“若x2y20则x、y均为零”的逆命题

②“相似三角形的面积相等”的否命题

③“若ABA则AB”的逆否命题

④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题

A. ①②

B. ②③

C. ①③

D. ③④

7、命题“若a＞b,则ac2＞bc2(a、b∈R)”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（

）

A.3

B.2

C.1

D.0 8．“在整数范围内，a，b是偶数，则ab是偶数”的逆否命题是

。

9．用反证法证明命题“5个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数”时，反设成：

．反设若用式子表示，则为：

．

10．

判断下列命题“若在二次函数

中

，则该二次函数图像与

轴有公共点”．的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．

11．反证法证明：若

，则

、

、中至少有一个不等于0．

12．若a，b，c均为实数，且a=x-2y+0．

22，b=y-2z+23，c=z-2x+6，求证：a，b，c中至少有一个大于