3.1.2 导数的概念教学内容分析

导数的概念教学设计

一、内容和内容解析

内容：导数的概念

内容解析：本节课的核心概念时导数，概念的形成分为两个层次：

（1）借助高台跳水问题，体验以，未知探究已知和逼近的数学思想方法，明确瞬时速度的概念；

（2）以速度模型为出发点，经历有平均变化率到瞬时变化率的过程，体验由特殊到一般的思想方法，抽象出导数的概念，认识到导数就是瞬时变化率。

教学重点：导数概念的形成，导数内涵的理解

二、目标和目标解析

目标：1.了解导数概念的实际背景

2.理解导数概念，会用定义求导数

目标解析：1.通过实例分析，引导学生用平均速度去求瞬时速度，体验由已知探究未知的数学方法，让学生亲自计算，在计算过程中感受逼近的趋势，并经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，明确瞬时速度的概念，了解导数概念的背景

2.引导学生以瞬时速度为基点，从特殊到一般，经历由平均变化率到瞬时变化率·的过程，理解导数就是瞬时变化率，函数f(x)在x=x0处的导数f(x)反映了函数f(x)在x=x0处附近变化的快慢。

三、教学支持条件分析

可以借助计算器让学生通过计算亲身体验，同时借助多媒体动态演示，让学生感受逼近的思想、方法

四、教学过程设计

（一）创设情景，引入新课

（幻灯片）回顾上节课留下的思考题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.

计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

活动方式：经过计算、讨论，学生会发现运动员在这段时间内的平均速度为0，但我们都知道在这段时间内，他一直在运动着，也就是说不可能是静止的，到底为什么会出这种情况呢？

设计意图：通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确刻画物体的运动状态，有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。这样能激发学生求知的欲望，从而是学生从“要我学”变成了“我要学”

（二）结合跳水问题，明确瞬时速度定义

问题1 请大家思考如何求运动员的瞬时速度？如t=2时刻的瞬时速度？

活动方式：提出问题，组织学生讨论、相互交流，引导他们结合物理知识理解，尝试用平均速度去求瞬时速度，引导学生“以已知探求未知”，引导提出:当时间间隔很小时，平均速度就会逼近瞬时速度，从而确定想法：计算t=2s附近的平均速度，细致观察它附近发生的情况。

设计意图：（1）问题具体化为求t=2时刻的瞬时速度，是学生更靠近问题的中心；

（2）通过实际操作来感知解决问题的关键。

问题2 请同学们再想一想，所谓的t=2s的附近要怎么刻画？所对应的平均速度是多少呢？

活动方式:教师引导，既然是附近，则存在之前与之后两种情况，而且时间间隔应足够小，同时引导学生采用数学符号，将想法具体化，明确计算公式：如果用Δt来表示时间改变量，当Δt取不同值时，计算[2,2+Δt]与[2+Δt,2]的平均速度vh(2t)h(2)

t

学生分为四个小组，两个小组自己取Δt（t=2之前之后）用计算器完成，但要满足“越来越接近于0”,l另两个小组用计算器完成下表：

Δt

v

….

Δt

v

…

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ……….

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

……. 设计意图：学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，同时学生有一次体会“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自取Δt，亲自计算，亲身感受逼近的趋势。直观感受来突出重点，突破难点。

问题3 当趋于0 时，平均速度有怎样的变化趋势？

活动方式：各小组讨论展示计算结果，学生通过观察得到：“在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1”，教师在用多媒体展示，引导学生观察、分析、归纳，再次体会逼近思想，然后引导指出这个确定的值-13.1就是t=2s时刻的瞬时速度，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即limh(2t)h(2)13.1

t0t设计意图：（1）学生通过自我探索、互相交流，经历了动手操作、观查、分析、归纳、发现规律的过程，有利于提高学生的逻辑思维能力和自学能力；

（2）通过学生亲身体验和多媒体展示更有助于理解逼近思想进一步理解瞬时速度的概念。

问题4 同学们已经知道t=2s时的瞬时速度的表示方法，那么运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

活动方式：引导学生回顾t=2s时的瞬时速度的表示方法，学生意识到将t0代替2,可类比得到某个时刻t0的瞬时速度可表示为limh(t0t)h(t0)

t0t设计意图：用这种方式给出某一时刻的瞬时速度公式，显得顺理成章，更符合学生的认知规律，有助于学生理解，同时这种特殊到一般、用已知去发现未知的思考方法，有利于学生深刻理解导数内涵。

（三）有瞬时速度过渡到瞬时变化率，从而抽象概括出导数的概念

问题5 气球在体积为v0时的顺势膨胀率如何表示？

活动方式：学生类比之前学习的瞬时速度问题，引导学生得到瞬时膨胀率的表示

r(v0v)r(v0)

v0vlim设计意图：将瞬时速度的形式化表示迁移到瞬时膨胀率上，能帮助学生体会其中的共同点，看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移，进一步理解导数内涵打下基础。

问题6如果将这两个变化率问题中的函数用f(x)来表示，那么函数f(x)在xx0处的瞬时变化率如何呢？

活动方式：学生有前面问题做铺垫，教师引导比较两个变化率问题，体会它们的共同特征，f(x0x)f(x0)flim，教师这时指x0x0xxf(xx)f(x0)flim就是y=f(x)在出函数f(x)在xx0处的瞬时变化率lim0x0x0xx一起写出f(x)在xx0处的瞬时变化率limxx0处的导数，记作f'(x0)或yxx0

即f(x0)limf(x0x)f(x0)，自然而然定义了导数。

x0x设计意图：引导学生舍弃具体问题的实际意义有具体问题抽象出数学问题，由浅入深、由易到难、有特殊到一般，帮助学生完成思维的飞跃。

问题7 任何事物的瞬时变化率都可用导数来表示吗？

活动方式:引导学生阅读课本第5页倒数三个自然段。

设计意图：培养学生阅读课本的习惯，让学生明白：导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会学习导数的重要性。

（四）理解应用

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热操作。如果在第x h时候，原油的温度（单位c）为：

f(x)x7x15(0x8)

2试计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

活动方式：启发学生根据导数定义，分别求出f(2)和

f(6)，让学生说出f(2)和

f(6)的意义，指出f(x0)反映了原油温度在时刻附近的变化情况。引导学生再次归纳的到：导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢。并让学生独立完成P6的练习题。

设计意图：以具体问题为载体，让学生熟悉导数，加深对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用，发展学生的应用意识。