1.4.1 全称量词教案推荐

1.4全称量词与存在量词

韶关市第五中学

沈秀兰

一.教材分析：

（1）本节内容为人教A版选修1-1 1.4全称量词与存在量词。《课程标准》指出：“通过生活和数学实例，理解全称量词和存在量词的意义。”

《学科教学指导意见》中基本要求为“1．通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；２．能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；３．会判断全称命题和特称命题的真假；”。 （2）中学数学是由概念、定义、公理、定理及其应用等组成的逻辑体系。在理解数学概念、数学命题时, 全称量词与存在量词和数学命题的形式化常伴其中，进行判断和推理时,必须理解清楚它们的含义，遵守逻辑规律,否则,就会犯逻辑错误。掌握全称量词与存在量词的知识,对于深刻领会中学数学教学内容,提高学生的逻辑思维能力,有着重要的意义和作用. （3）就符号形式而言，它是一个全新的内容．就所表示的内容而言它是初中乃至高中课本大量数学命题的高度概括中的形式化，体现了从初中的数学知识较形象化向高中的数学知识较抽象化的进一步过度．

二.教学目标：

1.知识目标：①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；②能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；③会判断全称命题和特称命题的真假； 2.能力与方法目标：通过观察数学命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题辨析和探究，培养学生的良好学习习惯和反思意识；通过综合问题的探究培养的转化意识和分析问题解决的能力. 3.情感、态度与价值观目标：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣；通过问题引入的社会意义，培养学生的爱国情感和为祖国而努力学习的社会责任感. 三.重点难点：

教学重点：理解全称量词与存在量词的意义. 教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假. 四.学情分析：

学生已学过初中和高中必修①～⑤的全部内容，已拥有了基本的模块知识和数学框架，对用数学符号表示数学命题并不陌生，课本中许多数学也来自生活，对纯数学命题和生活中数学命题有一定的经验，这些都是学生进一步学习的基础，一些常见的数学思想如转化，形式化思想在各个模块中也有所渗透，这些都为学习全称量词与存在量词提供了有利的保障和

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支撑. 概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流. 学生在学习数学符号的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂行，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征,对学生比较困难.主观因素在于三个方面：①思维定势的影响，全称命题“xM,p(x)”中，变量x和含有变量的命题p(x)受函数概念的影响而不能正确理解全称命题；②理解数学符号表述含义的困难，这些困难不仅是对量词概念的理解，还包括命题中所含的其他数学符号的含义.教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把全称命题特称命题的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结判断全称命题与特称命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解概念的本质. 五.教学策略与手段：

为了使得学生理解全称量词与存在量词的意义的概念，可采用“螺旋递进”的教学模式逐步推进，具体可以进行如下的教学策略与手段. 1．先让学生观察一些较为熟悉的数学命题，科学猜想，描述他们的量词的共同特征，培养学生的观察意识和能力，为抽象全称量词做好铺垫．

2．归纳有利于学生形成认识,在归纳的基础上，引导学生概括，引入数学符号“”，归纳全称命题，引入形式化命题.有特殊到一般,层层递进. 3.演绎有利于帮助进一步认识问题的含义.在1和2的基础上给出一些全称命题让学生判断真假,启发引导学生交流讨论总结判断全称命题真假的一般方法, 培养举反例的能力.让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从而使学生从本质上认识全称量词的意义. 4．在完成了全称量词的建构后，对存在量词可让学生在观察类比中获得认识，建构概念．培养类比的能力．

5．对特称命题的真假判断,可让学生类比全称命题的判断,通过练习,类比,讨论获得思想方法,再次让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从本质上认识量词的意义.

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6．全称命题和特称命题的判断关键是看强调“”还是“”，也就是说“全称命题”是指含有“全称量词”的命题，“特称命题”是指含有“存在量词”的命题，这个命题可能是真命题，也可能是假命题，而不是看命题本身的真假来确定是全称命题还是特称命题，这一点学生容易理解错误．另外命题的否定与否命题也是有教大区别的，因此辨析很有必要，它有利于学生良好学习的习惯的形成，有利于学生感悟问题的本质. 六.教学过程：（采用多媒体）

（ⅰ）．课题引入

思考:某次会议有100人参加。参加会议的每人都可能是诚实的，也可能是虚伪的，现在知道下面两个事实：（1）这100人中，至少有一名是诚实的（2）其中任何两人中，至少有一名是虚伪的

请判断：有多少名诚实的？多少名虚伪的？

教师：这里的“至少有一名”、“任何两人”作何理解？ 学生：探究交流，说出自己的想法。

教师：教师评价。

设计意图：利用数学中有趣的问题，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．

（ⅱ）．问题链设计

1．创设问题情景

（1）对任意xR，x3；

（2）所有的正整数都是有理数；

（3）若函数f(x)对定义域D中的每一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；

（4）每一个中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．

教师：这些命题中的量词有何特点? 学生：经历观察、归纳的过程，在观察归纳中获得量词的一些共性，并说出自己的想法。

设计意图：使新知识建立在学生已有的知识之上，让学生经历观察、归纳的过程，在观察归纳中获得体验，抽象全称量词“”和全称命题．我们把具体模型的操作和学习看作是概念抽象和建构前的操作活动，通过为抽象概念搭建具体模型，有助于学生对抽象概念产生形象的认识，促进学生对概念的主动建构. 教师：上述4个命题，变量的取值范围是什么？可以用同一种形式表示它们吗？

学生：命题（1）变量的取值范围是：R；命题（2）变量的取值范围是：Z；命题（3）变量的取值范围是：D；命题（4）变量的取值范围是：{中国公民}．

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师生：将变量x的取值范围用M表示，含有变量x的语句抽象为：p(x),q(x),r(x),,表示．则这些全称命题就可概括为“对M中的任意一个x，有p(x)恒成立”，从而顺利引入形式化全称命题“xM,p(x)”．

设计意图：在获得体验的基础上，通过交流获得共识，抽象全称命题的形式定义“xM,p(x)”，

突破教学重点．

2．判断下列全称命题的真假．

（1）所有的素数都是奇数；（2）xR,x211；（3）每一个无理数x，x2也是无理数．

教师：引导学生“动”起来。

学生：关键是要通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断全称命题“xM,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中的找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，则这个命题就是假名题． 设计意图：通过演绎让进一步认识全称量词的含义，启发引导学生交流讨论总结判断全称命题真假的一般方法, 培养举反例的能力.让学生经历由特殊到一般和一般到特殊的认识过程,从而使学生从本质上认识全称量词的意义. 3．下列命题中量词有和特点？与全称量词有何区别？

（1）存在一个x0R,使2x013；

（2）至少有一个x0Z,x0能被2和3整除；

（3）有些无理数的平方是无理数．

教师：引导学生思考并说出（1）（2）（3）中量词与全称量词有何区别。

学生：让学生经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象存在量词“”与特称命题的概念，理解量词的本质含义．

教师：类比全称量词与全称命题的特点，特称命题如何用同一种形式表示它们呢？

学生：讨论概括抽象特称命题的形式定义“x0M,p(x0)”。

设计意图：再次让学生已有的知识之上，经历观察、归纳的过程，在类比、归纳中获得体验，抽象存在量词“”与特称命题的概念，理解量词的本质含义；培养学生的类比归纳和概括能力．

4．判断下列特称命题的真假．

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（1）有一个实数x0，使x022x030；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；（3）有些整数只有两个正因数．

教师：引导学生“动”起来。

学生：通过（1）（2）（3）的探究、交流和讨论使学生自己能够总结：要判断特称命题“x0M,p(x0)”是真命题，需要对集合M中的某一个元素x，p(x)成立；如果在集合M中的找不到任何一个元素x0，使得p(x0)成立，则这个命题就是假名题． 设计意图：通过演绎让进一步认识存在量词的含义，启发引导学生在类比全称命题真假的判断中总结判断特称命题真假的方法,培养学生分析问题解决的能力，理解量词的本质意义. 5．下列说法正确吗？

因为对xM,p(x)xM,p(x)，反之则不成立．所以说全称命题是特称命题，特称命题不一定是全称命题．

师生：共同探究，辨析。

全称命题和特称命题的判断关键是看强调“”还是“”，也就是说“全称命题”是指含有“全称量词”的命题，“特称命题”是指含有“存在量词”的命题，这个命题可能是真命题，也可能是假命题，而不是看命题本身的真假来确定是全称命题还是特称命题，这一点学生容易理解错误．如“xR,x21”尽管是假命题，但却是全称命题，而命题“xR,x20”中尽管x20对任意实数x成立，但却是特称命题．

设计意图：通过辩析探究、合作交流和反思，理解全称命题“xM,p(x)”和特称命题“xM,p(x)”的本质含义，培养学生的反思意识和合作学习意识．

6．练习及反馈

（1）．下列命题中为全称命题的是（ (C) ）

(A)有些圆内接三角形是等腰三角形

；

（B）存在一个实数与它的相反数的和不为0；

(C)所有矩形都有外接圆

； （D）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

（2）．下列全称命题中真命题的个数是（

（C）

）

①末位是0的整数，可以被3整除；

②角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；

③对xZ,2x21为奇数．

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（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 （3）．下列特称命题中假命题的个数是（ （A） ）

．．．①xR,x0；

②有的菱形是正方形；

③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 设计意图：能正确理解全称量词和存在量词．

7．课后思考：设函数f(x)x22xm，若对x2,4，f(x)0恒成立，求m的取值范围？

解决该问题的关键是对语句：“若对x2,4，f(x)0恒成立”的理解和在运用中领悟等价转化思想，即f(x)0恒成立fmin(x)0。

教师：引导学生获得：f(x)0恒成立fmin(x)0。

学生：x1,2，f(x)0fmin(x)0．∵x2,4,f(x)(x1)21m，

∴fmin(x)f(2)m0，∴m0。

设计意图：理解含有量词的数学命题，在运用的深化中加深对量词的理解，提高学生分析问题解决问题的能力．

8．回顾反思所学内容，你有那些体会和收获？

课内师生可以在共同回顾与反思本节课的收获，概括总结知识结构

量词

存在量词特称命题全称量词全称命题全称命题与特称命题的真假判断设计意图：提出一个问题比解决一个问题更重要．通过师生的共同回顾反思，加强师生交流，拓展师生互动的空间，发挥学生的主体作用，使学生有所思，有所悟．培养学生的学习探究能力，概括总结能力．

七．作业设计

课本第26页习题1.4 第1、2题，第28页复习题第5题 设计意图：进一步理解全称量词和存在量词，正确应用“”、“”符号，巩固如何判断全称命题和特称命题的真假

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