复习参考题教学内容概述

怎样解逻辑用语问题

1．利用集合理清关系

充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．

集合模型解释如下：

①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1) ②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2) ③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)

④A是B的既不充分也不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．(如图4) 或图4 例1

设集合A，B是全集U的两个子集，则A

B是(∁UA)∪B＝U的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．

解析

当AB时，如图1所示，则(∁UA)∪B＝U成立，当A＝B时，如图2所示，则(∁UA)∪B＝(∁UB)∪B＝U成立，即(∁UA)∪B＝U成立时可有A⊆B. 故AB是(∁UA)∪B＝U的充分不必要条件．

答案

充分不必要

2．抓住量词，对症下药

全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．

例2

(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．

(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．

解析

(1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，

(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，

即a≤1. 命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，

解得a≤－1或a≥2.综上所述：a≤－1. (2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，

即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．

综上所述：a≤－1或2≤a≤4. 答案

(1)a≤－1

(2)a≤－1或2≤a≤4 点评

认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．

3．挖掘等价转化思想，提高解题速度

在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．

3x＋4y－12>0，例3

设p：2x－y－8≤0，x－2y＋6≥0，的取值范围．

分析

“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A∁RB出发解题．

解

设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．

∵A∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，

∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，

∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离

d＝|－12|32＋42＝

q：x2＋y2≤r2

(r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r1212，∴r的取值范围为0

若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2

(r>0)在p：

3x＋4y－12>0，2x－y－8≤0，x－2y＋6≥0

所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想．