1.4.3 含有一个量词的命题的否定优质课一等奖

1.4.3

含一个量词的命题的否定

一、教学目标：

1、能正确的对含有一个量词的命题进行否定．

2、知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 二、教学重点：对含有一个量词的命题进行否定

教学难点：对量词的否定词的理解．

三、教学方法：启发引导式

四、教学过程：

1．(1)所有同学都顺利通过了考试；

(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径长．

写出以上两个全称命题的否定，从中你能发现原命题和它的否定在形式上有什么变化吗？

2．(1)有的函数是奇函数；

(2)至少有一个三角形没有外接圆．

写出以上两个特称命题的否定，从中你能发现原命题和它的否定在形式上有什么变化吗？

1．含有一个量词的命题的否定

命题

命题的表述

全称命题p

全称命题的否定¬p

特称命题p

特称命题的否定¬p

∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 00∃x∈M，p(x) 00∀x∈M，¬p(x)

2.重要结论

(1)全称命题的否定是

；(2)特称命题的否定是

.

（一）题型一：全称命题的否定

例1：判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)所有的矩形都是平行四边形．

(2)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．

(4)每个三角形至少有两个锐角．

思路点拨：

[解题过程]

(1)真命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形．

(2)假命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根．

(3)假命题，其否定为∃a，b∈R，方程ax＝b没有唯一解．

(4)真命题，其否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．

[题后感悟]

(1)全称命题的否定是特称命题．因为要否定全称命题“∀x∈M，p(x)成立”只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“∃x0∈M，¬p(x0)成立”．

(2)要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例．

(3)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．

[变式训练] 1．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)任何一个素数是奇数；

(2)任何一个平行四边形的对边都平行；

(3)∀x∈R，都有|x|＝x；

(4)每个二次函数的图象都开口向下．

解析：

(1)命题的否定为：存在一个素数，它不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．

(2)命题的否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行，其否定是假命题．

(3)命题的否定为：∃x0∈R，有|x0|≠x0，如x0＝－1，|－1|≠－1，其否定是真命题．

(4)命题的否定为：存在一个二次函数的图象开口不向下，其否定是真命题．

（二）题型二：特称命题的否定

例2：写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x∈R，x2＋x＋1<0；

(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3. 思路点拨：

[解题过程]

(1)命题的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．

由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．

(2)命题的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

(3)命题的否定是：“不存在x∈R，x2＋x＋1<0”，

也即“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”．

1233由于x＋x＋1＝x＋2＋4≥4>0，

2因此命题的否定是真命题．

(4)命题的否定是：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，

因此命题的否定是假命题．

[题后感悟]

(1)特称命题的否定是全称命题，要否定特称命题“∃x∈M，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，¬p(x)成立”．

(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可．

(3)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．

[变式训练] 2.写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. (2)∃x0∈R，x－3x0＋3≥0. (3)有的四边形是正方形．

(4)有一个奇数不能被3整除．

解析：

(1)命题的否定为：

对任意的实数x，有x3＋1≠0，假命题．

(2)命题的否定为：

∀x∈R，x2－3x＋3＜0，假命题．

(3)命题的否定为：所有四边形都不是正方形，假命题．

(4)命题的否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题．

小结: 1．如何对全称命题和特称命题进行否定？

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．

(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．

(3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

[提醒]

无量词的全称命题要先补回量词再否定．

2．如何理解全称命题和特称命题的关系？

全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外，而特称命题中的存在量词却表明给定范围内

的对象，有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

3．常见词语的否定

词语

词语的否定

等于

不等于

大于

不大于（即小于或等于）

小于

不小于（即大于或等于）

是

不是

都是

不都是（与“都不是”区别开）

至多一个

至少两个

至少一个

一个也没有

任意

某个

所有的

某些

练习

写出下列命题的否定：

(1)矩形的四个角都是直角；

(2)所有的方程都有实数解；

(3)4＜3.q 【错解】

(1)矩形的四个角都不是直角．

(2)所有的方程都没有实数解．

(3)4＞3.

【错因】

(1)“四个角都是直角”的否定有以下几种情况：四个角都不是直角；有三个角不是直角；有两个角不是直角；有一个角不是直角．上述否定形式只指出了反面的一种情况而没有否定全部情况．

(2)否定词使用错误．

(3)认为4＜3的反面是4＞3，忽略了4＝3的情况．

【正解】

(1)矩形的四个角不都是直角．

(2)有的方程没有实数解．

(3)4≥3.