一、圆锥曲线的光学性质及其应用教案3

数学选修2-1 第二章

圆锥曲线与方程

圆锥曲线的光学性质探究

教学设计—节选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）（2007.2第二版）

数学选修2-1 第二章

圆锥曲线与方程

圆锥曲线的光学性质探究

课题：圆锥曲线的光学性质探究

一、设计思想

【指导思想】在高中数学教学中开展“数学探究”“数学建模”等学习活动，可为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造更有利的条件，用以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，是高中课程改革的要求，如何在日常教学中渗透相关理念与活动，是每个教师要认真研究和思考的问题。通过数学课程的教学要使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。数学教学应立足于“数学教学是数学活动的教学”这一基本理念，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学. 【理论依据】建构主义学习理论认为，个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，他的已有知识经验、信念、个性、情感等都不同程度地参与其中；学习不仅是个体的活动，而且也是在与他人的交互作用中实现地，是一种与他人互助合作的社会活动.所以，建构主义不仅强调在“学习共同体”中成员之间交流合作的重要性，还强调了学习的主动性、真实性、社会性、情境性和多元性. 杜威的“教育即生活”理论也昭示了教育的生活意义.因此新课程背景下的课程应与学生的生活、经验相联系，将教学内容纳入学生与自然的关系、学生与社会的关系、学生与自我的关系以及学生与文化的关系中，引导学生在习得书本知识的同时，形成对待生活世界中各种问题的良好的情感、态度和价值观. 本节课教学从片头循环播放的电影放映机相关图片，及椭圆形商务宴会厅里奇妙的声音现象出发，激发起学生对椭圆几何性质的研究兴趣.在椭圆的几何性质教学中研究其几何性质在物理光、声学中的应用. 二、教材及学情分析

【教材分析】本节课节把人民教育出版社出版的A版数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》46页椭圆的几何性质以及75页阅读与思考·圆锥曲线的光第1页

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圆锥曲线的光学性质探究

学性质及其应用两部分内容结合起来进行教学. 人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯也是利用这个原理设计的，应用抛物线的这个性质，由光路可逆性，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的面的反射集中于它的焦点，人们应用这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶，在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反射镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高. 针对抛物线的这一重要光学性质，我们特别设计一个实验：为便于操作，我们用放大镜来进行研究，放大镜的镜面正是一个抛物面，太阳光线通过放大镜凸面，经过折射集中于焦点处，可在焦点处放置火柴，太阳光较强时可点燃火柴。

让学生观察实验，从而完成了对新知从感知到认识与理解的探究过程，最终完善了对新知的认知结构.激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性. 从电影放映机等情景引入，研究椭圆的几何性质（例5）在光学中的应用，并结合椭圆形宴会厅里奇妙的声音现象，启发学生发散思维，进一步探究椭圆的几何性质在声学中的应用并得出相应结论，并通过实验来验证结论的正确性，从而完成了对新知从感知到认识与理解的探究过程，最终完善了对新知的认知结构.激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性. 【学情分析】课程面对的学生群体是市属重点高中高二学生，已经学习过椭圆的概念、标准方程和椭圆的几何性质，掌握程度较好。学生对椭圆的学习有较高的兴趣，但是在动手操作与小组合作学习等方面，发展不均衡，有待加强. 【内容解析】本次教学是将人教版第46页椭圆的几何性质例5，与第75页阅读与思考·圆锥曲线的光学性质及其应用两个教学内容结合起来，让学生在学习椭圆几何性质的同时，感受到数学在研究其他学科（物理学）问题时的应用，这样组织教学切合课程改革新要求：一方面利用数学学科教学内容培养学生建立数学模型的能力和数学的应用意识，另一方面，教师要能够依据数学课程标准，合理组织教学内容，“用教材而非教教材”. 三、教学目标

【知识与技能】

（1）了解抛物线、椭圆的简单几何性质；

第2页

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（2）理解圆锥曲线的几何性质在解决光、声学问题时的原理；

（3）会用圆锥曲线的几何性质解决光、声学的相关问题. 【过程与方法】

（1）通过数学实验活动，加深学生对圆锥曲线几何性质的理解；

（2）引导学生的思维由问题开始，使学生学会数学思考与推理，学会反思

与感悟，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力；

（3）通过例题的讨论，让学生进一步体会抛物线及椭圆的定义及数形结合的思想；

（4）感受圆锥曲线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题.

【情感态度与价值观】

（1）通过学生在活动中的探索、交流，体验成功与提升的喜悦，培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣；

（2）通过对问题的讨论，培养学生清晰地表达自己的思维过程与科学求真精神；

（3）通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育.

四、重点难点 重点：

抛物线的光学性质，用待定系数法求抛物线的方程，领会抛物线方程中p的几何意义. 椭圆的光、声学性质及其探究过程，掌握椭圆焦点的几何意义. 难点：建立数学模型，灵活运用圆锥曲线的光、声学性质解决实际问题. 五、教学方法

从数学的角度对日常生活中出现的问题进行研究，引导学生如何对日常所观察到的现象提出数学问题，运用数学方法、数学思想，主动解决问题，并对提出的问题进行延伸，注重学生主动探索、自主学习、亲身体验、合作交流. 以多媒体课件为依托，可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中化解教学难点，突出教学重难点。教学中采用实验探索、类比法. 第3页

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类比法：通过对圆锥曲线光学性质的深入学习类比出其声学性质。类比法使得学生对于教材容易接受，可减轻学生负担.

六、教学流程

开始

思考生活中有趣的声

现象，启发学生学习兴趣，引入新知识

复习抛物线、椭圆的相关知识

分小组讨论圆锥曲线的光学性质

得出正确结论？

是

教师总结圆锥曲线的光学性质

例题

类比椭圆光学性质，猜测引入问题的原因，归纳得第4页

出椭圆的声学特性

否

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结束

设计物理实验验证椭圆的声学特性

总结布置作业

七、教学过程设计

教学环节

教师活动

【设问】

1.抛物线的定义

2.焦点在x轴正半轴上时抛物线的标准方程

3. 焦点在x轴正半轴上时抛物线的焦点坐标

4．焦点在x轴正半轴上时抛物线的准线方程

【演示】选取不同坐标系时抛物线的不同标准方程及其规律. 学生活动预设

设计意图

(一)复

习

“温故”，引导学生回忆配合老师回忆抛前情，尽快进物线的相关知识，入抛物线的回答老师的提问. 学习状态，以便“知新”.

观察和思考

阅读教材，分小组讨论抛物线的光学性质.

打破数学课上死板教学的常规模式，将物理、化学学科知识引入数学课堂，创设实验情境，使得理科课程知识得到紧密结合，让学生学以致用. 培养学生观察概括的能力和语言的表达能力.

【演示】创设实验情境：

[实验器材介绍] 1.火柴

2.放大镜

(二) 【实验设计思想】

创

我们研究到的放大镜的镜面正是一个抛物面，设

太阳光线通过放大镜凸面，经过折射后将通过情

焦点处，可在焦点处放置火柴，太阳光线较强境

时焦点处高温达到燃点可点燃火柴. ，

经过教师引导，学生产生了强烈的实验愿望，概

有了较强的学习兴趣. 括

【设问】为什么会出现这种现象？

性

【引导】打开教材第75、76页，阅读《圆锥曲质

线的光学性质及其应用》一文，分小组讨论抛物线具有何光学性质？

教师巡视，观察学生讨论情况. 第5页

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【授课】汇总学生的讨论结果，总结抛物线的光学性质. 【板书】抛物线的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴. 由于光路可逆性，可知一束平行于抛物线轴的光线经过抛物线面的反射集中于它的焦点. 设置与抛物线光学性质有关的典型例题，简单提示，让学生自主完成，如遇困难鼓励学生互相交流.

【例1】某种碟形太阳能热水器的外形示意图

整理笔记

培养学生自主探究与合作交流的意识.组与组之间质疑、论证，分享团体协作的乐趣.

思考和讨论

加强坐标法

的应用技能，

培养学生擅

于观察、发例1解题思路：

现、探究的科设出抛物线的标学生活精神. 准方程，因为点

(25,30)在抛物线

如图1，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物上，代入数据易求得焦点坐标，由题培养学生联线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为意，焦点横坐标即系众多知识单位的设计尺寸如图2为了达到最佳加热效(三) 为所求. 点分析实际趁

果，F应距碟底多少？

问题的能力. 热

打

铁

，

学

例2解题思路：

以

（方法一：定义

致

法）

用

PQ先求直线的方

PQ程，将直线的

方程与抛物线标

【提示】以碟形内壁底为原点，抛物线的对称准方程联立求得

轴为x轴，开口方向为x轴的正向，建立坐标

Q点的坐标. 系.

由抛物线定义有

PQPFFQ

2，整理化简

【例2】已知探照灯的轴截面是抛物线yx，12

)11如图所示，表示平行于对称轴x轴的光线于抛(a

4a第6页

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物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为a(a0),a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程最短？

鼓励学生一（方法二：数形结题多解，不断合法）

优化解题思因为抛物线过焦想. 点的所有弦中最考查学生是短的是通径，所以否能灵活运用所学的重当PF与x轴垂直要结论，注意图形在解题时从入射点P到过程中的作用，渗透数形Q反射点的光线结合的思想. 的路程PQ最短.

【提示】由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点.由题意可设出抛物线标准方2(a,a). P程和点的坐标【创设情境】

1片头循环播放的动画

2宴会厅里的泄密

【设问】

(四) 1是什么？

类比2为什么？

推理

【引导】带着对问题的思考通过对椭圆几何性研究质的进一步学习来解释上述现象

椭圆

【知识】椭圆的几何性质

【新知】教材椭圆的几何性质中的例5

【探究】为什么电影放映机的聚光灯泡要设计成椭圆形的？

结合教材第75、76页《圆锥曲线的光学性质及其应用》一文，分小组讨论椭圆具有何光从片头循环播放的图片

及椭圆形商务宴会厅里

奇妙的声音分析和思考

现象出发，激发起学生对

椭圆的研究

兴趣.

配合老师回忆椭

圆的相关知识，回

答老师的提问.

阅读教材，分小组

讨论椭圆的光学

性质.

第7页

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学性质？

教师巡视，观察学生讨论情况.

【授课】汇总学生的讨论结果，总结椭圆的光学性质. 【板书】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都交于椭圆的另一个焦点.

设置与椭圆光学性质有关的典型例题，简单提

“温故”，引导学生回忆前情，尽快进入学习状态，以便“知新”. 培养学生观察概括的能力和语言的表达能力.

整理笔记

培养学生自示，让学生自主完成，如遇困难鼓励学生互相主探究与合交流.

(五) 【例题3】 趁

热

打

铁

，

学

以

致

用

电影放映机的聚光灯泡的灯丝在焦点F1处，灯丝与反射镜的顶点A的距离|F1A|=1.5cm,过焦点且垂直于轴的弦|BC|=5.4cm,为了使电影机思考和讨论

作交流的意

识.

培养学生联

系知识点，灵

活运用所学例题解题思路：

的重要结论，片门获得最强的光线，灯泡应安在距片 据椭圆的光学性通过建立数门多远的地方？

质，从一个焦点射学模型分析出的光线经过椭实际问题的圆反射后应聚焦能力. 在另一个焦点上，注意图形在故片门应放在另解题过程中一个焦点F2上，因此需要求出焦距.

数形结合的【提示】

以椭圆的对称中心为原点，两焦点所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 思想.

的作用，渗透第8页

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【探究】

结合椭圆的光学性质，分析引入环节的宴会厅里奇妙的声音现象产生的原因，组织学生讨论，归纳推理椭圆的声学特性.

(六) 【结论】

总

结

规

律

，

触

类

旁

通 从椭圆的一个焦点发出的声波，经过椭圆反射后都集中到椭圆的另一焦点上.所以在另一个焦点处听得最清楚. 【演示】

实验，验证归纳推理的结论，通过实验数据肯定椭圆的声学特性,激发学生的探索兴趣，引导学生课下延伸学习.

学生讨论，归纳推理大胆猜测椭圆的声学特性.

打破数学课上单一教学的常规模式，将物理学知识引入数学课堂，创设实验情境，使得理科课程知识得到紧密结合，让学生学以致用.

培养学生联系和探究的【小结】从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，观察记录实验现能力，增强建经过椭圆反射后，反射光线或声波都将交于椭圆的另一个焦点. 【作业】查阅相关资料，自主探究椭圆的声学特性在现实生活中应用的实际问题，建立相应的数学模型，分析并解决.

象和数据，验证猜立数学模型测结论. 解决问题的能力，体验数学的用处.

八、板书设计

第9页

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抛物线的光学性质及其应用

抛物线的光学性质：

从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.

光路可逆性

一束平行于抛物线轴的光线经过抛物线面的反射集中于它的焦点. 例1解：设抛物线方程为y22px(p0)

由题意，点(25,30)在抛物线上，代入求得p18.焦点坐标F(9,0). 故F应距碟底距离为9. 例2解：

由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点F(,0). 设P点的坐标为(a,a)，

因为抛物线过焦点的所有弦中最短的是通径，所以当PF与x轴垂直时从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短. 故a214211，由题意得a. 42

椭圆的几何性质在光、声学中的应用

性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，例题：

经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的解略

另一个焦点上.

九、教学反思

第10页

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十、附录

附录1 例题及解析

【例1】某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图1，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以cm为单位的设计尺寸如图2为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？

解：设抛物线方程为y22px(p0)

由题意，点(25,30)在抛物线上，代入求得p18.焦点坐标F(9,0)

故F应距碟底距离为9.

【例2】已知探照灯的轴截面是抛物线y2x，如图所示，表示平行于对称轴x轴的光线于抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为a(a0),a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线的路程最短？

解：（方法一：定义法）

1由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点F(,0). 4a1设P点的坐标为(a2,a)，则直线PQ的方程为：y(x)与y2x联立，14a24111,). 解得y或ya.由图可知Q(24a16a4a1112(a)11

根据抛物线的定义有PQPFFQ

a2216a24a11当且仅当a，即a时等号成立. 4a21所以当a从入射点P到反射点Q的光线的路程PQ最短. 2解：（方法二：数形结合法）

1由抛物线的光学性质，知光线PQ必过抛物线的焦点F(,0). 4设抛物线方程为y22px(p0),P点的坐标为(a2,a)，

因为抛物线过焦点的所有弦中最短的是通径，所以当PF与x轴垂直时从入射点11P到反射点Q的光线的路程PQ最短. 故a2，由题意取a. 42第11页

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例3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分，灯丝在焦点F1处，而且灯丝与反射镜的顶点A的距离|F1A|=1.5cm,过焦点且垂直于轴的弦|BC|=5.4cm,为了使电影机片门获得最强的光线，灯泡应安在距片门多远的地方？

解析：据椭圆镜面的光学性质，从椭圆的一个焦点射出的光线经过椭圆反射后应聚焦在另一个焦点上，故片门应放在另一个焦点F2上，因此需要求出焦距. 解：由题意得，不妨设焦距|F1F2|=2c，

所以F1(-c,0)，F2(c,0)，B(-c,2.7)，A(-c-1.5,0)；

由椭圆的定义知，|BF1|+|BF2|=2|OA|得：

(cc)22.722.72(c1.5)2c12(cm)

∴灯泡应安在距片门12厘米处.

第12页

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附录2 相关教材

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