3.4 生活中的优化问题举例优秀公开课教案

联合体教学设计

河北任丘一中数学组：张海昌

教学课题

选修2-2第一章1.4生活中的优化问题举例

一、知识与技能：

1．研究使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用. 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力

3.掌握利用导数解决某些实际问题的方法，能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题。

二、过程与方法：

通过学习使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体现导数的工具性。

三、情感态度与价值观：

通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高

课标要求

认知层次

知识点

知识点1 优化问题的概念

知识点2 优化问题的实质

知识点3 解决优化问题的基本步骤

将实际问题转化为数学问题的能力。

识记

理解

∨

∨

应用

综合

∨

1. 与几何有关的最值问题；

目标设计

2. 与物理学有关的最值问题；

3. 与利润及其成本有关的最值问题；

4. 与效率有关的最值问题。

情境一：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．那我们通常采取什么方法解决这一类问题呢？

问题1：这些问题的共同点是什么？（求最值）

问题2：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与哪部分数学知识有关？（函数）

问题3：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工具？（导数工具）

问题4：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？（函数的定义域）

情境二：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示

2的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

问题1：根据以往的经验，这种问题往往与哪个知识点有关？（均值定理）

问题2：均值定理应用的前提是什么？（一正，二定，三相等）

问题3：由经验可知，图形越对称越能取得最值。那这个问题是不是当版心为正方形时

四周空心面积最小呢？（均值定理解法可由学生分组完成）

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河北任丘一中数学组：张海昌

问题4：除了用均值定理解决这个问题外，还有没其他的方法？能不能用导数解决？

（导数解法见课本34页）

情境三：课本例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题1：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

问题2：瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

2r32432解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是yfr0.2r0.8r0.8r,0r6

33令fr0.8(r2r)0 解得 r2（r0舍去）当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

2当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低；

（1）半径为2cm 时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm时，利润最大．

问题3：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察（课本35页图1.4-2），会有什么发现？

情境四：课本例3磁盘的最大存储量问题

（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？

（3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？

【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

设出变量，建立数

问题1：是不是r越小，磁盘的存储量越大？

建模型

学模型，得到函数关系式

问题2：r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储

任何信息）？

求导数

对所列函数关系式求导

总结归纳解决优化问题的基本思路如下：

【课堂练习】

1.

用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器

求极值点

的底面一边长比另一边长长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？

并求出最大容积。

2. 已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点

位于抛物线y

＝4－x在x轴上方的曲线上，求这

种矩形中面积最大者的边长．

2 2求出定义域内的极值点

求最值

利用导数求出函数的最值

定答案

写出实际问题的答案

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河北任丘一中数学组：张海昌

习题设计：

1.将8分成两个非负数之和，使其立方和最小，则应分为（ ）（知识点3，易）

A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不对

2.某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边砌新墙，则当用料最省时的长和宽分别为（ ） （知识点3，易）

A.32米，16米 B.30米，15米 C.40米，20米 D.36米，18米

3.某商品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y117x2(x0)生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大应生产（ ） （知识点3，中）

A.6千台 B.7千台 C.8千台 D.9千台

4. 有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？ （知识点3，中）

5. 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）如果C(x)＝10x0.003x5x1000，那么生产多少单位产品时，边际C(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大

（知识点3，难）

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