3.1.3 空间向量的数量积运算课堂实录【2】

课题：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案）

一、教学目标

（一）知识与技能：

1.掌握平面向量数量积坐标表示及运算规律、模、夹角，能利用数量积的性质及数量积坐标运算规律解决有关问题

2.掌握两个向量共线、垂直的坐标判断，会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题

（二）过程与方法：

通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，让学生体会数形结合的数学思想方法。

（三）情感态度与价值观：

通过平面向量坐标运算公式的推导，培养学生严谨的学习态度；运用公式解决实际问题，让学生感受数学的实用性。[来源:学科网ZXXK]

二、教学重、难点

教学重点:平面向量数量积的坐标表示及运算规律. 教学难点:

平面向量数量积在解决长度、垂直、夹角等问题中的应用

三、教材分析

平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分. 前面我们学***面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示. 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模的运算规律.平面向量数量积的坐标表示是在学生学***面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础. 四、教学过程

（一）复习引入：

(1)平面向量数量积（内积）的定义：ab

= (2)两个向量的数量积的性质：

①长度的表示：a22abcos

a

②角度的表示：cos =ab|a||b|

③两平面向量垂直的充要条件：

ab



ab= 0

注：利用学生已有知识和经验引出新知识，复习了学生已获取的知识，又能自然地引出新知识，让学生体会知识之间的联系

（二）讲解新课：

问题1：我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用a和b的坐标表示ab呢？

探究：已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，怎样用a和b的坐标表示ab？. yA(x1,y1)aB(x2,y2)bjOi

分析：已知的是两向量坐标，要进行数量积运算，只须根据向量坐标的意义，用运算律解决。

图532x如图，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，

由于ababcos所以

ii1，jj1，ijji0

下面研究怎样用a和b的坐标表示ab.设两个非零向量

a（x1,y1)与b(x2,y2)则

已知ax1iy1j,bx2iy2j，

22

ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2ix1y2ijx2y1ijy1y2jx1x2y1y2可得：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即abx1x2y1y2

让学生总结结论，得到：

1、平面两向量数量积的坐标表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即abx1x2y1y2

有了数量积的坐标表示，教师可以引导学生自己探讨长度、角度、垂直的坐标表示

问题2：如果表示向量a=AB的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，求AB

分析：a=AB=(x1x2,y1y2)

|a|(x1x2)2(y1y2)2

（平面内两点间距离公式）

让学生总结结论，得到：

2. 平面内两点间的距离公式

（1）设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2. （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式) 问题3：夹角能表示吗？

分析：让学生推导：cos =ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y2[来源学科网ZXXK]22

3．得到结论：两向量夹角的余弦（0）

cos =ab|a||b|x1x2y1y2x1y122

x2y222

问题4：如何判定向量垂直？（用坐标表示）

分析：∵ab

ab

=0即x1x2 + y1y2 = 0 得到结论：（注意与向量共线的坐标表示的区别）

4．向量垂直与平行的判定

设a（x1,y1)与b(x2,y2)，

则ab

x1x2y1y20；

a//bx1y2x2y10

注：由此可见，数量积有不同的表示形式，体现了数学数形结合的思想，但它的本质规律不会改变，下面我们利用新知识解决问题。

（三）例题讲解：

例1 已知A(1，

2)，B(2，

3)，C(2，

5)，试判断△ABC的形状，并给出证明. 证明:AB(21,32)(1,1)AC(21,52)(3,3)

ABAC1(3)130

ABAC

三角形ABC是直角三角形.

， 练习1：以原点和A（2，4）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B(x,y)的坐标. 3，1）或（1，3）解略。答案：B的坐标为（

ab，a与b的夹角

例2 已知a(1,3),b(3,3),求ab，ab2*2343，解：ab6，cosabab3,0180,150

2例3 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)

a与b的夹角为直角；(2)

a与b的夹角为钝角；(3)

a与b的夹角为锐角.

解：设a与b的夹角为θ，

则ab＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ. (1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以ab＝0，所以1＋2λ＝0，所1以λ＝－2. (2)因为a与b的夹角为钝角，

所以cos θ<0且cos θ≠－1，

所以ab<0且a与b不反向. 1由ab<0得1＋2λ<0，故λ<－2，

由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，

1所以λ的取值范围为－∞，－2. (3)因为a与b的夹角为锐角，

所以cos θ>0，且cos θ≠1，

所以ab>0且a与b不同向. 11由ab>0，得λ>－2，由a与b同向得λ＝2，所以λ的取值范围为－2，2∪(2，＋∞). 练习

2、课后练习1、2、3、题[来源:学科网]

五、课堂小结

1、abx1x2y1y2 222、平面内两点间的距离公式

a(x1x2)(y1y2)

3、向量垂直的判定：设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a⊥b

x1x2y1y20

六、作业布置

习题2.4

A组9、10、11 、题[来源:学科网]

[来源:Zxxk.Com]