小结ppt课件教学实录

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课题：立体几何中的向量方法复习（一）

——利用空间向量证明平行与垂直问题

一.学习目标

1.理解直线的方向向量、平面的法向量，会求平面的法向量

2.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决平行问题

3.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决垂直问题

二.学习重点与难点

重点：用向量方法解决平行与垂直问题

难点：用向量方法解决立体几何问题

三.学习活动过程（以问题为导向，引导学生自主思考，讲课时间控制在20分钟内）

【课前导学】自学教材p102---104

1．两个重要向量

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

(2)平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.

(3)求法向量的步骤：(1) 求出在平面内的两相交向量a , b (2) 设平面的法向量为 n =(x,y,z) an0(3) 解方程组

bn0练习：（1）已知点P(0,0,4)，M(0,2,0)，N

（2）已知点G

2．空间位置关系的向量表示

5，1，2，求平面PMN的一个法向量

23131，，0，D(2，－2，0)，F(0,0，3)，求平面DFG的一个法向量

22

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位置关系

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别为n，m 四.典例研讨

l1∥l2

l1⊥l2

l∥α

l⊥α

α∥β

α⊥β

向量表示

n1∥n2⇔n1＝λn2

n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔m·n＝0 n∥m⇔n＝λm

n∥m⇔n＝λm

n⊥m⇔n·m＝0 【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：

(1)DE∥平面ABC；

(2)B1F⊥平面AEF.

小结：1．利用空间向量证明平行的方法

(1)线线

平行：证明两直线的方向向量共线．

(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．

(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．

2．利用空间向量证明垂直的方法

(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．

(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

[提醒]

运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．

[例2]

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP

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的长；若不存在，说明理由．

小结：向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路

(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．

(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．

五.反馈练习(课后作业) 1．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB. (1)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(2)若点M是CD的中点，证明AM∥平面BCE.

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2．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点M是BD1的中点，AE＝CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

2(1)求证：EM∥平面ABC；

(2)试问在棱CD上是否存在一点N，使

MN⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

3.如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，

使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．