复习参考题教学设计(第二课时)

第三章 空间向量与立体几何

一、选择题

1．下列各组向量中不平行的是（

）

A．a(1,2,2),b(2,4,4)

B．c(1,0,0),d(3,0,0)

C．e(2,3,0),f(0,0,0)

D．g(2,3,5),h(16,24,40)

2．已知点A(3,1,4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为（

）

A．(3,1,4)

B．(3,1,4)

C．(3,1,4)

D．(3,1,4)

83．若向量a(1,,2),b(2,1,2)，且a与b的夹角余弦为，则等于（

）

9A．2

B．2

C．2或22

D．2或

55554．若A(1,2,1)，B(4,2,3)，C(6,1,4)，则△ABC的形状是（

）

A．不等边锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形

5．若A(x,5x,2x1)，B(1,x2,2x)，当AB取最小值时，x的值等于（

）

A．19

B．8819

C．

D．

71476．空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC则cos的值是（

）

3，

A．112

B．

C．－

D．0

222二、填空题

1．若向量a(4,2,4),b(6,3,2)，则(2a3b)(a2b)__________________。

2．若向量a2ijk,b4i9jk,，则这两个向量的位置关系是___________。

3．已知向量a(2,1,3),b(4,2,x)，若ab，则x______；若a//b则x______。

4．已知向量ami5jk,b3ijrk,若a//b则实数m______，r_______。

5．若(a3b)(7a5b)，且(a4b)(7a5b)，则a与b的夹角为____________。

6．若A(0,2,1955)，B(1,1,)，C(2,1,)是平面内的三点，设平面的法向量888a(x,y,z)，则x:y:z________________。

7．已知空间四边形OABC，点M,N分别为OA,BC的中点，且OAa,OBb,OCc，用a，b，c表示MN，则MN=_______________。

18．已知正方体ABCDA1BC11D1的棱长是，则直线DA1与AC间的距离为

。

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）

1．已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，1DAB90,PA底面ABCD，且PAADDC，2AB1，M是PB的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,). 2（Ⅰ）证明：因AP(0,0,1),DC(0,1,0),故APDC0,所以APDC.

由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：因AC(1,1,0),PB(0,2,1),

故|AC|2,|PB|5,ACPB2,所以10cosAC,PB.5|AC||PB|ACPB

（Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在R,使NCMC,

11NC(1x,1y,z),MC(1,0,),x1,y1,z..

22要使ANMC,只需ANMC0即x14z0,解得.

25412可知当时,N点坐标为(,1,),能使ANMC0.555

1212此时,AN(,1,),BN(,1,),有BNMC05555由ANMC0,BNMC0得ANMC,BNMC.所以ANB为

所求二面角的平面角. 30304,|BN|,ANBN.555ANBN2

cos(AN,BN).3|AN||BN|2故所求的二面角为arccos().3|AN|

2．如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形, 平面VAD底面ABCD．

（Ⅰ）证明：AB平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小．

证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

（Ⅰ）证明：不防设作A(1,0,0)，

则B(1,1,0)，

V(,0,123)，

213AB(0,1,0),VA(,0,)

22BAD由ABVA0,得ABVA，又AAD都垂直.

∴AB平面VAD.

（Ⅱ）解：设E为DV中点，则E(,0,，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，143)，

4333313EA(,0,),EB(,1,),DV(,0,).

444422由EBDV0,得EBDV,又EADV.

因此，AEB是所求二面角的平面角，

cos(EA,EB)EAEB|EA||EB|21,

7解得所求二面角的大小为arccos21.

73．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，

侧棱PA底面ABCD，AB3，BC1，PA2，

VDABC

E为PD的中点.

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，

并求出点N到AB和AP的距离. 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、

B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、

1P(0,0,2)、E(0,,1)，

2从而AC(3,1,0),PB(3,0,2).

设AC与PB的夹角为，则

cosACPB|AC||PB|32737,

14

∴AC与PB所成角的余弦值为37. 14

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)，则

1NE(x,,1z)，由NE面PAC可得，

2NEAP0,NEAC0.13z10,(x,,1z)(0,0,2)0,x2

∴6

即化简得13x0.z1(x,1,1z)(3,1,0)0.2233. ,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,66即N点的坐标为(4．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB4,BC2,CC13,BE1.

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z). ∵AEC1F为平行四边形，

由AEC1F为平行四边形,由AFEC1得,(2,0,z)(2,0,2),z2.F(0,0,2).EF(2,4,2).于是|BF|26,即BF的长为26.（II）设n1为平面AEC1F的法向量，

显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1(x,y,1)

n1AE0,0x4y10由得

2x0y20n1AF0,x1,4y10,即1

2x20,y.4又CC1(0,0,3),设CC1与n1的夹角为，则

cosCC1n1|CC1||n1|3311116433.

33∴C到平面AEC1F的距离为

d|CC1|cos3433433.

33115．如图，在长方体ABCDA,AB2，点E在棱AD上移1BC11D1，中，ADAA11动.（1）证明：D1EA1D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

. 4

解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AEx，则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)

（1）因为DA,0,1),(1,x,1)0,所以DA1D1E.

1,D1E(1（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E(1,1,1),AC(1,2,0)，

nAC0,，设平面的法向量为，则

ACDAD1(1,0,1)n(a,b,c)1nAD10,也即a2b0a2b，得，从而n(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为

ac0ac2121.

33h|D1En||n|（3）设平面D1EC的法向量n(a,b,c)，∴CE(1,x2,0),D1C(0,2,1),DD1(0,0,1),

nD1C0,2bc0由

令b1,c2,a2x，

ab(x2)0.nCE0,∴n(2x,1,2).

依题意cos4|nDD1||n||DD1|222(x2)252.

2∴x123（不合，舍去），x223

. ∴AE23时，二面角D1ECD的大小为. 46．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C,C1的一点，EAEB1，已知AB2,BB12,BC1,BCC13，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

（Ⅱ）二面角AEB1A1的平面角的正切值. 解：（I）以B为原点，BB1、BA分别为y,z轴建立空间直角坐标系.

由于，AB2,BB12,BC1,BCC13

在三棱柱ABCA1B1C1中有

B(0,0,0),A(0,0,2),B1(0,2,0),C(3133,,0),C1(,,0)

2222

设E(3,a,0),由EAEB1,得EAEB10,即

233,a,2)(,2a,0)

22

0(33a(a2)a22a,

44131331得(a)(a)0,即a或a(舍去),故E(,,0)222222

313333BEEB1(,,0)(0)0,即BEEB1.222244又AB侧面BB1C1C，故ABBE. 因此BE是异面直线AB,EB1的公垂线，

则|BE|311，故异面直线AB,EB1的距离为1. 44（II）由已知有EAEB1,B1A1EB1,故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量B1A1与EA的夹角. 因B1A1BA(0,0,2),EA(故cos即tanEAB1A1|EA||B1A1|2.223,31,,2),22

7．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上

一点，PFEC. 已知PD2,CD2,AE1,

2求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；

（Ⅱ）二面角EPCD的大小. 解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DP分别为

x,y,z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0)

设A(x,0,0)(x0),则B(x,2,0),

113E(x,,0),PE(x,,2),CE(x,,0).

由PECE得PECE0，

222即x23133330,故x.

由DECE(,,0)(,,0)0得DECE，

222242又PDDE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得|DE|1，故异面直线

PD,CE的距离为1. （Ⅱ）作DGPC，可设G(0,y,z).由DGPC0得(0,y,z)(0,2,2)0

即z2y,故可取DG(0,1,2),作EFPC于F，设F(0,m,n)，

31,m,n).

2231,m,n)(0,2,2)0,即2m12n0，

2222312m2,故m1,n,EF(,,).

22222则EF(由EFPC0得(又由F在PC上得n因EFPC,DGPC,故EPCD的平面角的大小为向量EF与DG的夹角. 第三章 空间向量 一、选择题

1．D b2aa//b;d3cd//c;而零向量与任何向量都平行

2．A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变

3．C cosa,babab82,2,或

55325964．A AB(3,4,2),AC(5,1,3),BC(2,3,1)，ABAC0，得A为锐角；

CACB0，得C为锐角；BABC0，得B为锐角；所以为锐角三角形

5．C AB(1x,2x3,3x3),AB(1x)(2x3)(3x3)

2228 14x32x19，当x时，AB取最小值

726．D cosOA,BCOABCOABCOA(OCOB)OABCOAOCcos3OABCOAOBcos30

二、填空题

1．212 2a3b(10,13,14)，a2b(16,4,0)

2．垂直 a(2,1,1),b(4,9,1),ab0ab

10104)(1):23:,xx6

3．,6若ab，则823x0,x；若a//b，则2:(334．15,1m511,m15,r

a(m,5,1),b(3,1,r),531r52222225．0

7a16ab15b0,7a33ab20b0,得49ab35b,49a35ab

352b352a35ab4935b abb,,cosa,b1

494949bababa6．2:3:(4) AB(1,3,),AC(2,1,),AB0,AC0,

74742xy243,x:y:zy:y:(y)2:3:(4)

33z4y37．111(bca) MNONOM(bc)a

2223 A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A),AC(1,1,0),DA1(0,1,1)

1(0,0,138． 设MN(x,y,z),MNAC,MNDA1,xy0,yz0,令yt

则MN(t,t,t)，而另可设M(m,m,0),N(0,a,b),MN(m,am,b)

mt11111113 amt,N(0,2t,t),2tt1,t，MN(,,),MN

33339993bt