3.3.1 两条直线的交点坐标ppt配套的板书设计及意图

3.3.1

两条直线的交点坐标

教学目标

1.

知识与技能

（1）掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况。

（2）当两直线相交时，会求交点坐标。

2.过程与方法

学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系，加深对解析法的理解，培养转化能力。

3.情感、态度和价值观

感受用代数方法研究几何问题的方便，增强学习解析几何的信心。

教学重点

根据直线方程判断两直线的位置关系和已知两直线求交点坐标

教学难点

对方程系数的分类讨论、直线系方程的理解、对称问题的突破

一、预习课本，梳理新知

已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立,得方程组

若方程组有唯一解,则两条直线

,此解就是

;若

方程组无解,则两条直线

,此时两条直线

.

二、自我检测

1.在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为(

)

A.x+3y=0 C.

=1 的画“×”.

B.y=-x-12 D.y=-

x+4

2.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√” 错误(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直线相交. (

)

(2)若两条直线的斜率都存在且不等,则两条直线相交. (

)

(3)两条直线的斜率一个存在,另一个不存在时,两条直线也相交. (

)

三、典例解析

类型一：两直线的交点问题

【例1】求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.

思路分析:思路一(直接法),解方程组得点P的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程;思路二(待定系数法),根据直线l与l3垂直,设出直线l的方程,再由点P的坐标求解.

解法一:(直接法)

-

解方程组

得P(0,2).

-

因为直线l3的斜率为,所以直线l的斜率为-.

所以直线l的方程为y=-x+2,

即4x+3y-6=0. 解法二:(待定系数法) 设直线l的方程为4x+3y+m=0.

-

解方程组

得P(0,2).

-

因为直线l过直线l1与l2的交点P(0,2), 所以4×0+3×2+m=0, 解得m=-6. 所以直线l的方程为4x+3y-6=0.

变式训练1

将例1中的“垂直”改为“平行” 其他条件不变,则

直线l的方程为

.

类型二：过两直线交点的直线系方程

【例2】

(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;

(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.

思路分析：（1）设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ，即得到所求直线方程.

(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0 解方程组

-x-y-1=0,得直线所过定点。

X+2=0，

解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0. ∵点P(1,0)在直线上, ∴1-2+λ(3+2)=0 ∴λ=.

∴所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,

即x+y-1=0.

(2)由(a-1)x-y+2a-1=0, 得-x-y-1+a(x+2)=0. 所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.

-

-

-

-

解方程组

得

所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).

变式练习2：已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(

)

A.2x+y=0 C.x+2y=0 类型三：对称问题

【例3】光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.

思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程。

解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A'(x0,y0),

则

-

-

B.2x-y=0

D.x-2y=0

解之,得A'(-4,-3). 由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1), 所以反射光线所在直线的方程为y-1= ·(x-1),

即4x-5y+1=0. -

解方程组

得反射点P

-

-

.

所以入射光线所在直线的方程为y-3=即5x-4y+2=0.

·(x-2),

四、易错点突破

对“不能构成三角形”讨论不全面而致误

典例若三条直线l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能围成三角形,求m的值.

错解:当三条直线中至少有两条平行时,三条直线不能围成三角形.显然l1与l3不平行.当l1∥l2时,m=4;当l2∥l3时,m=-1.

错因分析:错解直接认为只有当存在两条直线平行时,不能构成三角形,而忽略了三线共点时也不能构成三角形,此时只需求出两条直线的交点坐标,同时满足第三条直线即可.

正解:显然l1与l3不平行,当l1∥l2或l2∥l3时,不能构成三角形,此时对应m的值分别为m=4,m=-1;当直线l1,l2,l3经过同一个点时,也不能构成三角形,由

∴m=1, 综上可得m=4或-1或1.

-

-

得,

代入l2的方程,得-m+1=0,

变式训练

已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0.求m的值,使它分别满足以下条件:(1)l1,l2,l3交于同一点;(2)l1,l2,l3不能围成三角形.

五、随堂检测

1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是

(

)

A.(-9,-10)

B.(-9,10)

C.(9,10) D.(9,-10) 2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k的值等于(

)

A.-2 B.-

C.2 D.

3.若两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限,则m的取值范围是(

) A.

B.

-

C.

-

D (2 +∞)

4.若直线x-ay+1=0与直线x+y-1=0的交点在y轴上,则a的值是

.

六、课后作业

课本P109题1、题2、题3、题5