1.2.1 充要条件教案评析

1.2.2

充要条件

教学内容：普通高中课程标准试验教科书（人教A版）选修2-1 1.2.2充要条件

教材分析

充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。从学生学习的角度看，教学时间的前移，可能会因为学生逻辑思维能力还不够充分，而给教师的教学带来一定的困难。因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，是比较切合教学实际的。从教材编写角度来看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上。新教材的定义显得更简洁精炼，而新教材的例题、练习题和习题量均大幅增加，大约是旧教材的两倍。显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观。当然，一次性给出定义也增加了学生理解上的困难，也是教学中必须突破的难点。

三维教学目标

知识与技能

1.正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不

充分也不必要条件的定义． 2.正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. 3.学生通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假。

过程与方法

从集合的角度深化概念；提高数学语言的运用能力和逻辑推断能力；在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质． 情感态度与价值观

在对命题的条件与结论间逻辑关系的探究中培养学生思维的严谨性；通过严格推理和证明的教学，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义的世界观．

教学重点：

1.理解充要条件及充分不必要条件、必要不充分条件的概念； 2.能利用命题与集合观点正确判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件；

3.充要条件命题的证明。

教学难点：

1.正确运用“条件”的定义解题

2.从命题与集合观点理解充分条件、必要条件与充要条件；

3.充要条件命题的证明。

教法：在教学方法上，主要是采用讲练结合法进行教学。教师通过点拨引导的方式，

启动学生的思维活动，从具体问题出发引出数学概念，并在实际问题中反复应用和辨析，启发学生理解概念并能在实践中总结判定方法。

一、复习回顾

1.情境复习：

p：两年后我们班的同学都考上本科， q：

两年后你考上本科．

问题：

p是q的充分条件吗？

p是q的必要条件？

学生回答：

若两年后我们班的同学都考上本科，能充分的说明两年后你考上本科，即若p成立，则q一定成立，记pq，称p是q的充分条件；若两年后你考上本科，则两年后我们班的同学不一定都考上本科，即如果q成立，那么p不一定成立，即由q推不出p，记作qp，p不是q的必要条件．

2.问题复习：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．

(1)p:x2,q:x1；

(2)p:x1,q:x2；

(3)p:x0,y0,q:xy0；

(4)p:x=0，y0,q:x2y20．

学生回答：

(1)(2)(3)x2x1,p是q的充分条件，q是p的必要条件；

x1x2,但x2x1,p是q的必要条件，q是p的充分条件；

x0,y0xy0,p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件；

又xy0q不是p的充分条件，p也不是q的必要条件；

x0,y0，(4)x=0，y0x2y20，p是q的充分条件，q是p的必要条件；

22又xy0x=0，y0，q是p的充分条件，p是q的必要条件．

二、探究新知

（一）探究概念

思考：在问题(4)中，不仅pq，而且qp．像这样的命题p是q的什么条件？

问题：结合以上理解同学们能否归纳出充分必要条件的概念？

（二）得出概念

充分必要条件：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）．

思考：在这个定义中，p是q的充要条件，那么q是p的什么条件？

学生得出：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

教师概括：如果pq，那么p与q互为充要条件．

三、理解新知

1.教师说明：

(1)符号“”叫做等价符号．“pq”表示“pq且pq”，也表示“p等价于q”；

(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”．

(3)充要条件在生活中的体验：三角形三个边相等等价于三角形三个角相等；

对于任意的a,bR，都有a2b22ab成立，当且仅当ab时等号成立．

2.思考：“若p，则q”的原命题与逆命题均是真命题,p是q的什么条件？q是p的什么条件？

四、运用新知

例1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p:ab,q:acbc；

(2)p:x0,y0,q:xy0；

(3)p:x5,q:x10；

(4)p:b0,q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

(5)p:ab,q:a2b2．

分析：判断p是q的充要条件，即判断pq且qp是否都成立．

解：在(1)和(4)中，pq且qp，即pq，故p是q的充要条件．

在(2)中，qp；在(3)中，pq；而在(5)中，pq且qp；所以(2) (3) (5)中的p均不是q的充要条件．

例2.判断：“c0”是“一元二次方程xbxc0有两个异号根”的什么条件？并证明结论．

分析：本题是充要条件．设p:c0，q:一元二次方程xbxc0有两个异号根．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可．

解：充要条件．

证明：(1)先证充分性(pq)：

∵c0，∴方程xbxc0的b4c0．

∴方程xbxc0有两个不相等的实根，设其为x1，x2．

∵x1x2c0，∴方程xbxc0有两个异号实根．

(2)再证必要性(qp)：

∵方程xbxc0有两个异号实根，设其为x1，x2，∴x1x20．

∵x1x2c，∴c0．

由(1) (2)知该结论成立．

规律方法：关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行．充分性证明：条件结论；必要性证明：结论条件．

2222222

变式训练：

求证：在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件. 证明：（1）充分性() 因为在ABC中，AB. 所以，ab. ab

sinAsinB所以，sinAsinB. 又由正弦定理：（2）必要性（）上述步骤可逆，不再详解. 拓展延伸：在例1的命题(2)中，pq但qp，这时我们可称p是q的什么条件？p与q的关系应如何定义呢？

（学生回答：p是q的充分不必要条件．）

提问：1.例1的命题(4) 、(5)中的p分别是q的什么条件？

（学生回答：(4)中p是q的必要不充分条件，(5)中p是q的既不充分也不必要条件．）

2.结合以上分析，p是q的各种条件的可能情况有哪些？

（学生回答：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．）

3.如何定义这四种条件？

教师引导学生总结：

若pq且qp，则p是q充分不必要条件；

若qp且pq，则p是q必要不充分条件；

若pq且qp，则p是q充要条件；

若pq且qp，则p是q既不充分也不必要条件．

变式练习：

1.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”去判断复习回顾问题中的p是q的什么条件．

答案：(1)充分不必要；(2)必要不充分；(3)既不充分也不必要；(4)充要．

2.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空．

对于命题“若p，则q”，

(1)如果原命题为真且逆命题为假，那么p是q的_________条件,q是p的_________条件；

(2)如果原命题为真且逆命题也为真，那么p是q的____________条件；

(3)如果原命题为假且逆命题也为假，那么p是q的__________________条件．

答案：(1)充分不必要，必要不充分；(2)充要；(3)既不充分也不必要．

深化概念：如何用集合间的关系来理解四种条件？

用p表示某元素x属于集合P，q表示该元素属于集合Q．

(1)若PQ，则xP是xQ的_______条件，xQ是xP的_______条件. 充分，必要．

用图形可以表示为：

P(Q)

Q

或P

Ｐ

(2)若P

Q

，则xP是xQ的_______条件，xQ是xP的_______条件.

充分不必要，必要不充分．

PＰQ

用图形可以表示为：

(3)若PQ，则xP是xQ的_______条件，xQ是xP的_______条件. 充要，充要．

用图形可以表示为:

(4)若PP(Q)

Q且QP，则xP是xQ的_______条件，xQ是xP的_______条件. 既不充分也不必要，既不充分也不必要．

用图形可以表示为:

Q

P

或

P

PQ

五、课堂小结

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下：

1.充要条件及其它三种条件的概念；

2.判断命题的条件的充要性的方法思想；

3.数学思想：等价转化的思想、逻辑推理论证的思想．

六、布置作业

1.必做题：课本第12页A组3、4 补充题：

(1)a3的一个必要不充分条件是_________；

(2)ab0的一个充分不必要条件是____________. (3)若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么①D是A的什么条件？

②B是D的什么条件？

2.选做题

(1)已知p是q的必要而不充分条件，那么p是q的什么条件？

注：等价法（转化为逆否命题）

22(2).已知p:2x3x20,q:x2(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

答案：(1)充分不必要条件；(2).a的取值范围是[,2]．

32七、教后反思

本节课是注重新、旧知识的内在联系，以旧引新，过渡自然．在此基础上，通过实例，创设问题情境，最后，明确充要条件，并给出判断充要条件的方法和步骤．环环相扣，层层深入，重点突出，抓住了关键．例题与练习由浅入深，符合学生的认知规律．充要条件的证

明没有用课本例题，选了一个稍微简单的题，更易于学生接受，重在渗透方法；拓展延伸富有新意，有利于培养学生的探索能力和创新意识，有利于培养学生的思维能力和思维品质，整个设计圆满地完成了教学任务．

另外，在学生理解了充要条件的概念后，根据多角度理解概念的教学需求，把课本习题1.2B组第1题调整为这节课的教学内容．这样教学顺序的调整有利于教学效果，更符合学生认知规律，易于学生的理解和接受．

本节课概念比较抽象，不易理解，用它们去解决具体问题则更为困难，因此“充要条件”的教学成为难点之一．尤其对于“qp”，称p是q的必要条件难以接受，p本是q推出的结论，怎么又变成条件了呢？对这学生难以理解．

八、板书设计

1.2.2充要条件

1.定义：

拓展

2.判断步骤：

3.判断方法：

例1

例2

深化概念

作业