1.2.3 空间几何体的直观图教学实录与评析

与直线有关的距离计算

【学习目标】

1. 了解点到直线的距离公式、平行线间距公式的推导过程；

2. 掌握并能熟练运用以上距离公式。

【学习过程】

自学案

★

自学

（自学教材P106—109）

一、公式回顾

两点P______

1(x1,y1)，P2(x2,y2)的距离公式：P1P2__________二、距离公式的推导

（1）点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离：

1°

当A0,B0时，过P0点分别作P0P2y轴，P0P1x轴，

lydP1交直线l于P1,P2两点，则P1,P2的坐标分别为______________，_______________，则P_______________，0P1__________P0•

OP2xP0P2______________________，P1P2所以dP0PP0P2122_____________. P0P1P0P2P1P2

__________________2°

当A0时，直线l的方程化为：yC，点P0(x0,y0)到直线l的距离Bd_______________________，符合上述距离公式. 3°

当B0时，直线l的方程化为：xC，点P0(x0,y0)到直线l的距离Ad_______________________，符合上述距离公式. _______

故点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离公式d__________

1

（2）两条平行线l1:AxByC10与l2:AxByC20的间距：

l21°

当B0时，在l1上任取点P(x0,_______)，则直线l1,l2的间yl1Pd_______________. 距即为点P到直线l2的距离，d__________2°

当B0时，l1:x•

OC1C，l2:x2，则l1,l2的间距AAxd_______________，符合上述距离公式. ___

故l1:AxByC10与l2:AxByC20的间距公式d__________

★

自测

1.

点P(0,1)到直线3xy30的距离是____________ 2.

两平行线5x12y0与5x12y130的距离为___________ 3.

在过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为_____________

探究案

探究一：点到直线的距离

例1

求下联点到直线的距离：

（1）A(1,0)，l:5x12y90；

（2）A(2,3)，l:xy

（3）A(1,2)，l:y

点评：在求点到直线的距离时，直线方程先化

一般式；对于求点到垂直于坐标轴直线的距离，可以不利于该距离公式求解。

2 3x3；

（4）P0(1,2)，l:3x2

变式训练1

点P(2,m)到直线l:y2x1的距离为5，则m_______________

探究二：平行线间的距离

例2

（1）已知直线l1:2x7y80，l2:6x21y10，l1,l2是否平行？若平行，求其间距。

例2 （2）求与直线l:5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程。

点评：求平行线间距时，保持直线方程的x,y的系数分别相同；在设平行直线方程时，只需另设常数项C. 变式训练2

（1）直线yx1与yx3的距离为____________ （2）直线l与两平行线3xy60及3xy20的距离都相等，求直线l的方程。

探究三：距离公式的应用

例3

已知点A(1,3)，B(3,1)，C(1,0)，求△ABC的面积。

3

变式训练3

求过直线l1:x3y100和l2:3xy0的交点，并且与原点相距为1的直线l的方程。

训练案

1. 已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1，则a（

）

A．2

B. 2

C. 21

D. 21

2. 若点(4,a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围为（

）

A．(0,10)

B. [0,10]

C. [,1331]

D. (,)

33. 过点P(1,2)，且与A(2,3)和B(4,5)两点的距离相等的直线l的方程是（

）

A．4xy60

B. 3x2y70或4xy60

C．x4y60

D. 2x3y70或x4y60

4. 直线l1,l2分别过点P(2,3)，Q(3,2)，它们分别绕点P,Q旋转但保持平行，那么它们之间的距离d的取值范围是（

）

A．(0,)

B. (0,52]

C. (0,5]

D. [52,)

5. 已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点坐标是A(2,3)，则过点P(a1,b1)、Q(a2,b2)的直线方程是（

）

A．3x2y0

B. 3x2y10

C. 2x3y50

D. 2x3y10

6. 直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点

_____________ 7. 点P(x,y)在直线xy40上，O是原点，则OP的最小值是____________ 8. 已知点P(a,b)在直线3x4y12上运动，则a2b2的最小值为______________

4

9. 已知点A(3,4)，B(6,3)到直线l:kxy10的距离相等，则k__________

10. 在x轴上求一点P，使以点A(1,2)，B(3,4)和P为顶点的三角形的面积为10.

11. 设直线l过点A(2,4)，它被两平行线l1:xy10和l2:xy10所截得的线段的中点B在直线x2y30上，求则l的方程。

12. 已知正方形的中心为C(1,0)，一条边所在直线的方程为x3y50，求其余三边的直线方程。

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