1.2.3 空间几何体的直观图教学设计(第二课时)

空间几何体的三视图和直观图教学设计

1教学目标

1.了解投影、中心投影和平行投影的概念;2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型.

2学情分析

1.若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出.

2.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度和正视图一样.侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”.

3.在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同.

3重点难点

1.投影

(1)投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.

(2)投影的分类

①中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.

②平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.

2.三视图

(1)三视图的分类

①正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图.

②侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图.

③俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.

(2)三视图的画法要求

①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.

②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下边，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右边，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.

③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡部分用虚线画出.

4教学过程

4.1 第一学时

教学活动

活动1【导入】探要点究所然

[情境导学]

从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同;不识庐山真面目，只缘身在此山中.”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上.

探究点一

中心投影与平行投影

导引

在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题.

思考1

什么是投影、投影线、投影面吗?

答

光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.

思考2

不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?

答

灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的;手电筒发出的光是一束平行光线.

小结

我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影;把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.

思考3

用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影?

答

灯泡照射物体形成的投影是中心投影;手电筒照射物体形成的投影是平行投影.

思考4

用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同?

答

在投影面上形成的影子形状与原物体相似，比原物体大.物体离灯泡越近，在投影面上的影子越大.

思考5

用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗?

答

形状和大小是相同的;当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小不变.

小结

在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.

思考6

一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?

答

与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小都不发生变化;与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小会发生变化.

例

1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.(填序号)

答案

①②③

解析

要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图①;在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图②;在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图③.

反思与感悟

画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.

跟踪训练1

如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________.

答案

②③

解析

四边形BFD′E在正方体ABCD-A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是③;在面DCC′D′上的投影是②;同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是②.

探究点二

柱、锥、台、球的三视图

导引

把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面.

思考1

如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么?

答

如图：

思考2

三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)?

答

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.

小结

一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽.

思考3

圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么?

答

圆柱：

圆锥：

圆台：

思考4

球的三视图是什么?下列三视图表示一个什么几何体?

答

球的三视图都是半径相等的圆，上面三视图表示的几何体为如图所示：

探究点三

简单组合体的三视图

思考1

在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理?

答

能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.

思考2

如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出?(标出字母)

答

三视图如下图：

例

2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.(单位：cm)

解

三视图如下：

反思与感悟

(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等.(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方.

跟踪训练2

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

答案

D

解析

根据几何体的三视图知识求解.

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.

探究点四

将三视图还原成几何体

思考

下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.

答

简单组合体的示意图如下：

例3

说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.

解

几何体为三棱台，结构特征如下图：

反思与感悟

通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.

跟踪训练3

下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.

解

物体的形状如下图所示：

1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是(

)

答案

A

解析

由正投影的定义知，点M，N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1，DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确.

2.某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(

)

A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱台

D.三棱台

答案

B

解析

由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形.

3.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

答案

B

解析

还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.

D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(

)

答案

D

解析

由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.

5.如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图.

解

所给四棱锥的三视图如图所示：

[呈重点、现规律]

1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.

2.几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助

坐标轴，在第二象限画出正视图;根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图;根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图.

3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.

1.2

空间几何体的三视图和直观图

课时设计

课堂实录

1.2

空间几何体的三视图和直观图

1第一学时

教学活动

活动1【导入】探要点究所然

[情境导学]

从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同;不识庐山真面目，只缘身在此山中.”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上.

探究点一

中心投影与平行投影

导引

在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题.

思考1

什么是投影、投影线、投影面吗?

答

光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.

思考2

不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?

答

灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的;手电筒发出的光是一束平行光线.

小结

我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影;把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.

思考3

用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影?

答

灯泡照射物体形成的投影是中心投影;手电筒照射物体形成的投影是平行投影.

思考4

用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同?

答

在投影面上形成的影子形状与原物体相似，比原物体大.物体离灯泡越近，在投影面上的影子越大.

思考5

用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗?

答

形状和大小是相同的;当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小不变.

小结

在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.

思考6

一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?

答

与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小都不发生变化;与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下形状、大小会发生变化.

例

1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.(填序号)

答案

①②③

解析

要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图①;在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图②;在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图③.

反思与感悟

画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.

跟踪训练1

如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________.

答案

②③

解析

四边形BFD′E在正方体ABCD-A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是③;在面DCC′D′上的投影是②;同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是②.

探究点二

柱、锥、台、球的三视图

导引

把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面.

思考1

如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么?

答

如图：

思考2

三视图，分别反映物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)?

答

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度.

小结

一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽.

思考3

圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么?

答

圆柱：

圆锥：

圆台：

思考4

球的三视图是什么?下列三视图表示一个什么几何体?

答

球的三视图都是半径相等的圆，上面三视图表示的几何体为如图所示：

探究点三

简单组合体的三视图

思考1

在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理?

答

能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.

思考2

如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出?(标出字母)

答

三视图如下图：

例

2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.(单位：cm)

解

三视图如下：

反思与感悟

(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等.(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方.

跟踪训练2

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

答案

D

解析

根据几何体的三视图知识求解.

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.

探究点四

将三视图还原成几何体

思考

下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.

答

简单组合体的示意图如下：

例3

说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.

解

几何体为三棱台，结构特征如下图：

反思与感悟

通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.

跟踪训练3

下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.

解

物体的形状如下图所示：

1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是(

)

答案

A

解析

由正投影的定义知，点M，N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1，DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确.

2.某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(

)

A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱台

D.三棱台

答案

B

解析

由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形.

3.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

答案

B

解析

还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.

D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(

)

答案

D

解析

由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.

5.如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图.

解

所给四棱锥的三视图如图所示：

[呈重点、现规律]

1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视

图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.

2.几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助

坐标轴，在第二象限画出正视图;根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图;根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图.

3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.