习题2.3课堂实录【1】

2．2．1 双曲线及其标准方程教学设计

◆

知识与技能目标

理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．

◆能力目标

（1）

想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际子，能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2）

思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

【来.源：全,品…中&高*考*网】（3）

实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．【来.源：全,品…中&高*考*网】（4）

数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．

（5）

创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．

◆

过程与方法目标

（1）预习与引入过程

预习教科书52页至55页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲

线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P52页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．

【来.源：全,品…中&高*考*网】〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集PMMF1MF22a．

（ii）双曲线标准方程的推导过程

提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．

类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

y2x2

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程221a0,b0．

ba（iii）例题讲解、引申与补充【来.源：全,品…中&高*考*网】

例1 已知双曲线两个焦点分别为F15,0，F25,0，双曲线上一点P到F1，F2距

离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．

补充：求下列动圆的圆心M的轨迹方程：①

与⊙C：x2y22内切，且过点A2,0；②

与⊙C1：x2y11和⊙C2：x2y14都外切；③

与⊙C1：222x32y29外切，且与⊙C2：x3y21内切．

2解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M的半径为r．

①

∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙①

∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴MCr2，MAr，因此有MAMC2，∴点M的轨迹是以C、A为焦点2y2的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2x1x2；

72②

∵⊙M与⊙C1、⊙C2均外切，∴MC1r1，MC2r2，因此有MC2MC11，∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，∴M的轨迹方程4x231y；

是4y342③

∵M与C1外切，且M与C2内切，∴MC1r3，MC2r1，因此MC1MC24，∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，∴M的轨迹x2y2方程是1x2．

45例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A，B两地听到爆炸声的时间差，即可知A，B两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．

扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为．

340m/s；相关点均在同一平面内）解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．

如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A1020,0，B1020,0，C0,1020．

设Px,y为巨响发生点，∵A、C同时听到巨响，∴OP所在直线为yx……①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，∴PBPA43401360m．由双曲线定义知，a680，c1020，∴b3405，∴P点在双曲线方程为x2y21x680……②．联立①、②求出P点坐标为226805340P6805,6805．即巨响在正西北方向68010m处．

探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，求点M的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？

9探究方法：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是迹方程．

练习：第61页1、2、3、

作业：第61页A组题1、2、

4，因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的轨9

课堂练习(巩固及提高): 1.已知在△ABC中,B(5,0),C(5,0),点A运动时满足3sinBsinCsinA,求点A的轨迹方程. 522

2.课本P62习题2.3

A组第5题

r如图,圆O的半径为定长,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?

xy1(x3)916练习第1题详细答案几何画板演示第2题的轨迹本课小结