1.2.1 充要条件设计意图

1.2.2充要条件

学习目标

1.理解充要条件的概念.2.掌握判断充要条件、既不充分也不必要条件的方法．

一

回顾：充分条件与必要条件

(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若p⇒q，但qp，称p是q的充分而不必要条件，若q⇒p，但pq，称p是q的必要而不充分条件．

二

新课：充要条件

思考

在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

答案

因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．

1.

概念：(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

2.充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系．

(1)从逻辑关系上看．

①若p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；

②若q⇒p，但pq，则p是q的必要不充分条件；

③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)从集合与集合之间的关系上看．

如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．

①若A⊆B，则p是q的充分条件；

②若A⊇B，则p是q的必要条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．

(3)从传递性角度看．

由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系．

(4)从等价命题角度看．

当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．

类型一

充分条件、必要条件和充要条件的判断

例1

下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；

(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交．

解

(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0；

a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形；

四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，

∴p是q的必要不充分条件．

(3)∵x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；

x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件．

(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，

111即m<－.∵m<－1⇒m<－；m<－m<－1，

444∴p是q的充分不必要条件．

(5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件．

反思与感悟

对于两个命题：p与q. (1)若有“p⇒q，但qp”，则称p是q成立的充分不必要条件．

(2)若有“q⇒p，但pq”，则称p是q成立的必要不充分条件．

(3)若有“p⇒q，且q⇒p”，则称p是q成立的充要条件．

(4)若有“pq，且qp”，则称p是q成立的既不充分也不必要条件．

跟踪训练1

设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

答案

D D．既不充分也不必要条件

解析

可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即结论“a2>b2”不能推出条件“a>b”．故选D. 类型二

递推法判断命题间的关系

例2

已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解

方法一

(1)∵q是s的充分条件，∴q⇒s. ∵q是r的必要条件，∴r⇒q. ∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q. 即s是q的充要条件．

(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．

(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p. ∴p是q的必要不充分条件．

方法二

如图所示．

(1)由图可知q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．

(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．

(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而pq，

所以p是q的必要不充分条件．

反思与感悟

解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系．

跟踪训练2

如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(

) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

答案

A 解析

如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

类型三

充要条件的证明

例3

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的

充要条件是ac<0. 证明

必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，

c∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，

a∴ac<0. c充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0，

a∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根．

因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 反思与感悟

根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性是证明“条件”⇒“结论”，必要性是证明“结论”⇒“条件”．

跟踪训练3

已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明

必要性：

∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，

∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2＋b2－ab) ＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 充分性：

∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，

又∵ab≠0，

∴a≠0且b≠0，

b3∴a2＋b2－ab＝(a－)2＋b2>0，

24∴a＋b－1＝0.∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 类型四

利用充分条件、必要条件求参数的取值范围

例4

已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．

解

设p对应的集合为A，q对应的集合为B.解不等式x2－8x－20>0，得A＝{x|x>10或x<－2}．解不等式x2－2x＋1－a2>0，得B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．依题意知p⇒q，qp，a>0，说明AB.于是有1＋a≤10，1－a≥－2，

(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取

到)解得0

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

跟踪训练4

已知p：|1－x－1|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条3件，求实数m的取值范围．

解

由题意知p：|1－x－1x－1|≤2⇒－2≤－1≤2⇒

33x－1－1≤≤3⇒－2≤x≤10. 3q：x2－2x＋1－m2≤0⇒

[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0.(*) ∵p是q的充分不必要条件，

∴不等式|1－x－1|≤2的解集是x2－2x＋1－m2≤0(m>0)的解集的真子集．

3∵m>0，∴不等式(*)的解集为{x|1－m≤x≤1＋m}，

且1－m＝－2与1＋m＝10不同时成立．

1－m≤－2，m≥3，∴⇒∴m≥9. 1＋m≥10m≥9.

∴实数m的取值范围是[9，＋∞). 练习：

1．人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的(

) A．充分条件

C．充要条件

答案

A 解析

无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄．逆否命题为：若受禄，则有功．显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄．

x－12．设命题p：x2－3x＋2<0，q：≤0，则p是q的(

) x－2A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

命题p：1

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

B 解析

根据方程得x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5，故“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的必要不充分条件，故选B.

4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．

答案

(－∞，－3] 解析

由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有AB，则有a≤－3. 15．试说明0

3解

(1)若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，

Δ＝4－12m>0，m≠0，则3m>0，1反之，若0

323则>0，>0，－4<－12m<0,0<4－12m<4，

mm23即Δ>0，且>0，>0. mm1因此0

3小结：

充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：

(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．

(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．

(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1∴0