3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学活动设计方案

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

一、教材分析

本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-1）中第三章空间向量与几何体：第一节“空间向量及其运算”的第四课时；空间向量是平面向量的推广，是近代数学的一个重要工具，是联系代数、几何、三角的重要桥梁，为用空间向量解决立体几何问题做好铺垫，同时通过不断与平面向量的正交分解及基本定理进行类比学习，不断将三维空间问题向二维平面问题转化，充分体现了类比与转化思想在研究问题过程中的作用。

二、教学目标

1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2.通过类比，转化，归纳，推广等思想，提高观察、分析、抽象概括的能力,进一步培养学生的空间观念。

3.通过本节课学习，培养学生的积极探究，合作学习，不断创新的思维品质。

三、学情分析

学生在这之前已经学习了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第二章：点、直线、平面的位置关系以及第四章第四节：空间直角坐标系。已经掌握了平面向量的相关知识，空间向量的线性运算与数量积运算，同时体会到平面向量与空间向量的高度和谐性。但同时学生对向量的推广到空间还缺乏深刻的思考，思维还具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性过程认识还不到位。

四、教学重点、难点

重点：理解空间向量基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

难点：理解平面向量基本定理及其意义及其证明过程（任意性、唯一性、任意性）。

五、教学策略

1.教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，采用问题引入，启发诱导、类比探究的模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成一般性的方法，另外恰当运用多媒体技术辅助教学，激发学生的学习兴趣，提高课堂效率。

2.学法分析

让学生通过观察、分析、类比，合作、总结、归纳，培养学生发现问题，分析问题、解决问题的能力，培养不断创新、追求精益求精的“工匠精神”。

六、教学过程

（一）复习引入（开门见山）

微课复习：微课展示共线向量、共面向量的表示方法，提出探究的问题“空间任一向量如何来表示”

师生活动：假设某一时刻我们对空中的一架飞机进行定点监测，如图，提出向量d此时能否被向量a,b表示出来？

生：学生会说不可以. 师：追问要想把此时飞机P定位，既向量d表示出来，那我们

需要如何改进呢？

生：再添加一个向量c. 师：怎样添加？在地平面上任意取一个可以吗？

生：不可以，向量c必需与向量a,b不在同一平面. 师：换句话说，向量a,b,c有什么约束条件? O

b

d

飞机P a

生：既不共面的三个．

设计意图：通过复习共线向量、平面向量的表示，引导学生类比到空间向量的表示；达成两点共识：①可以表示；②需要三个不共线的向量。

（二）独立作图，分组探究，生成定理，定理运用

（1）独立作图

尝试1：如图1，在长方体ABCDA'B'C'D'中，请标出ABADAA'表示的向量. 尝试2：如图2，i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，请你通过作图,尝试用向量i,j,k表示向量p.

图1 图2 师生活动：通过这两个问题的解决，启发，引导学生，当我们选三个两两垂直的向量去表示任意向量时，我们总是可以找到一个长方体，把i,j,k放在以O为起点的三条侧棱上，把p放在体对角线上. 设计意图：通过作图尝试，使学生直观的体会，并能用长方体模型处理，为一般情况的提出做好铺垫. （2）小组探究

问题1如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k，你觉得能得出怎么

样的结论？

问题2根据问题1的一般方法，及类比平面向量基本定理，请你尝试给出空间向量基本定理该如何表述？，同时指出空间向量基本定理与平面向量基本定理的区别

问题3你觉得空间向量的基本定理有哪些注意点，改如何证明（任意性、存在性、唯一性）

师生活动：教师先将学生分成若干组，每组若干人；学生分组探究，组内每个学生发表自己的意见，由一名同学负责记录，每组再推选一名代表准备发言；在学生充分讨论的前提下，教师选定一个小组展示探究结果，如何将空间任意向量用给定的三个不共面向量a,b,c表示（作出分解图形：平行六面体模型；并且引导学生给出严谨、完整的证明）；

设计意图：分组讨论探究，使每个学生经历利用已知给定的三个不共面向量，表示空间任意向量的一般化过程，使学生对所学知识的认识从抽象到具体，从模糊到清晰。

（3）生成定理

在解决问题1的前提下，类比平面向量基本定理，引导学生归纳总结空间向量基本定理；并且观察、分析它们之间的区别与联系：注意联系有：（1）空间向量基本定理是平面向量基本定理的推广，平面向量基本定理是空间向量基本定理的特殊情况（2）解决空间向量问题可转化为平面向量问题；主要区别：（1）基底向量的个数不同，（2）几何背景不同，（3）表

达形式不同。

在得到空间向量基本定理后，进一步引导学生理解基底选取的任意性问题（用几何画板动态演示），在基底确定的情况下，任意向量表示的存在性问题与唯一性问题；

设计意图：通过对两个定理的类比探究，小组讨论，小组展示，通过师生互动、生生互动完成对概念的辨析，从而到达共识，突破本节课的难点

（4）定理运用

例 假设9月3日大阅兵现场有两个地面测定点A、B和一个高空测定点C来测定空中直升机编队每架飞机的具体位置.O为长安街上一固定位置，O、A、B三点不共线.若2号直升机恰好位于ABC的重心位置，试用向量OA,OB,OC表示OG. 变式1：若G在平面ABC内,试用OA,OB,OC表示OG

师生活动：学生独立解决，学生上台展示解题想法，教师选

择学生回答问题，并聆听和鼓励. 设计意图：通过解决一个具体的问题，巩固空间三个不共面向量

作为基底表示表示其他向量的一般化过程，同时以生活实例为背景

体现了向量在实际生活的工具性作用，提高学生的学习积极性，变式的作业主要为了呼应书本P88的问题2，同时为接下来解决具体的立体几何问题做铺垫。

（三）坐标表示

1.播放微课：

展示单位正交基底，类比平面向量的坐标表示，给出空间向量的坐标表示，并给出当向量p的起点与坐标原点重合时，点向量p的终点P坐标即为(x,y,z). 2.坐标运用：

变式2：假设{OA,OB,OC}是一组单位正交基底，如图建立空间直角坐标系Oxyz.若2号直升机恰好位于ABC的重心位置G，则向量OG的坐标是多少？

设计意图：通过实例操作，让学生体会数学问题向量建模的思

想，并且与例题前后呼应，整节课一个问题的解决贯

穿始终,脉络清晰.

(四) 例题讲解

例2 如图，正方体AC1中，BD1交平面ABC1于G，求证：G是AB1C的重心

师生活动：教师选择学生回答问题，学生共同参与，解决问题. 设计意图：通过空间向量基本定理以及平面向量的坐标表示，解决D1C1一个实际的立体几何问题，为本章学习点明重点，体会空间向量在解G决立体几何问题的重要作用，为下一章学习立体几何中的向量方法做BA好铺垫。

D（五）回顾反思

C 点明本节课学习的知识内容，思想方法，鼓励及肯定学生在本节课中观察问题，分析问题，总结问题的能力及勇于探究，积极创新，乐于分享，精益求精的“工匠精神”。同时可以引导学生去学习课标P99页阅读与学习——向量概念的推广与应用。

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