3.1.2 导数的概念ppt配套的教案及板书设计

§3．1.2 导数的概念

【学情分析】：

本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：

1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义. 2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：

知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学难点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)设计意图

43r

3

如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4问题1 气球膨胀率

（一）问题提出

分析: r(V)33V，

4为导数概念的引入做铺垫

（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21h 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)r(V1)

V2V1ot

问题2

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v

h(0.5)h(0)4.05(m/s)；

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

在1t2这段时间里，v2165探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0t0.5这段时间里，v（1）运动员在这段时间内使静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(

65)h(0)，

4965)h(0)49所以v0(s/m)，

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员49h(仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

1．上述问题中的变化率可用式子

平均变化率

2．若设xx2x1, ff(x2)f(x1)

(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) （二）平均变化率概念:

3．

则平均变化率为f(x2)f(x1)表示,x2x1

称为函数f(x)从x1到x2的f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

xxx2x1x

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1（1）一起讨论、分析，得出结果；

（2）计算平均变化率的步骤：

①求自变量的增量Δx=x2-x1；

②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；

③求平均变化率f(x2)f(x1)f. xx2x1

注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；

②x2= x1+Δx；

③Δf=Δy=y2-y1；

例1．已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点2B(1x,2y),则y

．

x让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.

2解：2y(1x)2(1x)，

三．典例分析

y(1x)2(1x)23x

∴xx例2．

求yx2在xx0附近的平均变化率。

y(x0x)2x0解：y(x0x)x0，所以

xx222x02x0xx2x02x0x

x

所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用lim2四、瞬时速度

h(2t)h(2)13.1

t0t

表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极xxxx0/限值叫做函数yf(x)在xx0处的导数，记作y，即

f/(x0)lim五、导数的概念

x0f(x0x)f(x0)

x注意：（1）函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在

（2）在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0

要让学生理解导数概念

（3）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（4）y是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平均变化率. xx0（5）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limf(x)f(x0)

xx0limxx0f(x)f(x0)（定义的变形）

xx0例3、求y=x2在点x=1处的导数. 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求y，最后x求lim六、典例分析

x0y. x

2y2x(x)解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx

xx∴limx0y=lim

(2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2. xx02注意：(Δx)2括号别忘了写. 例4、求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

y(1x)2(1x)2解：3x

xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x例5、（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

x所以f(2)limflim(x3)3

x0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

例6、函数f(x)满足f'(1)2，则当x无限趋近于0时，

f(1x)f(1)

2xf(12x)f(1)

（2）x（1）变式:设f(x)在x=x0处可导，

七、引申

（3）f(x04x)f(x0)无限趋近于1，则f(x0)=___________ xf(x04x)f(x0)无限趋近于1，则f(x0)=________________ xf(x02x)f(x02x)所对应的常数与f(x0)的x

（4）（5）当△x无限趋近于0，关系。

（1）理解平均变化率、导数的概念。

（2）求函数yf(x)的导数的一般方法：

八、课①求函数的改变量yf(xx)f(x). 堂小结

yf(xx)f(x)②求平均变化率. xx③取极限，得导数y/＝f(x)limy.

x0x补充题目：1.一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么lims为（ ）

t0tＡ．从时间t到tt时，物体的平均速度；

Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t时物体的速度； Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度

2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度

s(5t)s(5)(5t)252lim解：瞬时速度v=lim

t0t0ttlim(10+Δt)=10 m/s. t0∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s. 3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度. 22s(2t)s(2)2(2t)3(223)

解：瞬时速度v=limlimt0t0tt=lim(8+2Δt)=8 cm/s. t0