2.2.4 平面与平面平行的性质ppt配套教案板书设计

2.2.4 平面与平面平行的性质

[学习目标]

1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题(重点、难点)；

2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化. 情境导学

两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们共同探讨这个问题. 探究点一

平面与平面平行的性质 思考1

如何判断平面和平面平行？如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 答

有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点； 二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.

思考2

如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？如何证明它们的关系？ 答

平行或异面. 两条交线平行.证明如下 已知

如图，平面α，β，γ满足α∥β，

α∩γ＝a，β∩γ＝b. 求证

a∥b. 证明

∵α∩γ＝a，β∩γ＝b， ∴a⊂α，b⊂β. 又∵α∥β， ∴a，b没有公共点， 又∵a，b同在平面γ内， ∴a∥b.

小结

平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

思考3

如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？ 答

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 定理的作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.

探究点二

平面与平面平行的性质定理的应用 例1

求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知

如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，

C∈α，B∈β，D∈β. 求证

AB＝CD. 证明

因为AB∥CD， 所以过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD. 因为α∥β，所以BD∥AC.

因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB＝CD.

反思与感悟

直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由平面与平面平行的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行.这揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.

跟踪训练1

证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交. 已知

如图，α∥β，l∩α＝A，

求证

l与β相交. 证明

在β上取一点B，过l和B作平面γ， 由于γ与α有公共点A，γ与β有公共点B，所以γ与α，β都相交. 设γ∩α＝a，γ∩β＝b， 因为α∥β，所以a∥b. 又因为l，a，b都在平面γ内，且l与a交于点A， 所以l与b相交，所以l与β相交.

例2

如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α. 证明

①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD， ∴AC∥BD， ∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴EF∥BD， 又EF⊄β，BD⊂β， ∴EF∥β. ②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，

在l上取一点H，使DH＝AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC， ∴AC∥DH， ∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G， 使AG∶GH＝CF∶FD， 又∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴GF∥HD，EG∥BH， 又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H， ∴平面EFG∥平面β. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β. ∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α. 反思与感悟

面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定

与性质的综合应用.解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化.

跟踪训练2

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD. 证明

过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，

∵B1E＝C1F，B1A＝C1B， ∴FG∥B1C1∥BC， 又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B， ∴平面EFG∥平面ABCD， 又EF⊂平面EFG， ∴EF∥平面ABCD.

当堂测·查疑缺

1.平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形： ①a∥b.②a⊥b.③a与b异面.④a与b相交.其中可能出现的情形有(

) A.1种

B.2种 C.3种

D.4种 解析

因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β， 所以直线a与直线b无公共点. 当直线a与直线b共面时，a∥b；

当直线a与直线b异面时， a与b所成的角大小可以是90°.

综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形. 答案

C

2.已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 解析

直线a与B可确定一个平面γ， ∵B∈β∩γ，

∴β与γ有一条公共直线b.由线面平行的性质定理知b∥a， 所以存在性成立. 因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，

所以b唯一. 答案

D

3.过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是_____. 解析

因平面ABCD∥A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1， 所以l∥A1C1(面面平行的性质定理).

4.已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为__________. 解析

若a⊂β，则显然满足题目条件. 若a⊄β，过直线a作平面γ，γ∩α＝b，γ∩β＝c， 于是由直线a∥平面α得a∥b， 由α∥β得b∥c，所以a∥c，又a⊄β，c⊂β，所以a∥β.

呈重点、现规律 1.常用的面面平行的其他几个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图