3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则公开课教案（教学设计）

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

●三维目标

1.知识与技能

(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；

(2)掌握导数的四则运算法则．

2．过程与方法

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

3．情感、态度与价值观

通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．

●重点、难点

重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．

难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．

●教学建议

本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？⇒引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.⇒通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导.⇒复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

教学过程

合作探究：

复习1：常见函数的导数公式：

（1）基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

导数运算法则

1．f(x)g(x)f(x)g(x)

'''函数

导数

yc

y'0

y'nxn1

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

y'ex

f(x)logaxf'(x)

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

yf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

1(a0且a1)xlna1

xf(x)lnx

f'(x)2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

'''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3．2g(x)g(x)

推论：cf(x)cf(x)

'''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. ①

求导数是在定义域内实行的．

②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

典型例题

例1：求下列函数的导数

求下列函数的导数．

xx(1)y＝x－sin ·cos ；

22(2)y＝1·cos x. xxx1解：

(1)∵y＝x－sin ·cos ＝x－sin x，

2221∴y′＝1－cos x. 2111·cos x(2)y′＝′＝′cos x＋(cos x)′

xxx11131x－′cos x－sin x＝－x－cos x－sin x

＝222xxcos x＋2xsin xcos x1＝－－sin x＝－. 2x3x2xx

规律方法：

1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．

1n2．对于形如y＝p，y＝x的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式x求导．

3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．

变式训练1：求下列函数的导数；

(1)y＝10；

(4)y＝3x. 解：(1)y′＝(10)′＝0 (2)y′＝(3x)′＝3xln 3.

例2：求下列函数的导数：

(1)f(x)＝(x＋2)(x－3)；(2)f(x)＝lg x－3x；

11sin x(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝. 1＋sin x1－x1＋x解：

(1)∵f(x)＝x2－x－6，

∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1.

(2)f′(x)＝(lg x)′－(3x)′＝1－3xln 3. x·ln 101＋x＋1－x112(3)y＝＋＝＝，

1－x1＋x1－x1＋x1－x－21－x′22∴y′＝()′＝＝. 21－x1－x1－x2sin x1(4)∵f(x)＝＝1－，

1＋sin x1＋sin x∴f′(x)＝1′－(1)′

1＋sin x－1＋sin x′cos x＝－. 2＝1＋sin x1＋sin x2

规律方法：

1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：

(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．

(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．

(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．

2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：

结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．

变式训练2：求下列函数的导数：

(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；

(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；

xx(3)y＝－sin (1－2cos2)．

24解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′

＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′

＝5x4－9x2－10x. (2) y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′

＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9. xxxx1(4)y＝－sin(1－2cos2)＝－sin(－cos)＝sin x，

24222

111y′＝(sin x)′＝(sin x)′＝cos x. 222x例3：求曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程．

x－2解：y′＝(－2x)′＝. x－2x－22∴k＝y′|x＝1＝－2 ∴切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.

变式训练3：已知函数f(x)＝0，求a，b的值．

x＋1－ln xxb解：f′(x)＝－2. xx＋2a1由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，

2f1＝1，b＝1，a＝1，故即解得

1a1b＝1.f′1＝－，－b＝－.222aln xb＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝x＋1x

所以a＝1，b＝1. 课堂小结

本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系. 反思总结

1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误. 当堂检测

11．已知函数f(x)＝，则f′(－3)等于(

) x111A．4

B.

C．－

D．－

9492．下列各式中正确的是(

)

A．(ln x)′＝x

B．(cos x)′＝sin x

1－－C．(sin x)′＝cos x

D．(x5)′＝－x6

53．下列求导正确的是(

) 11A．(x＋)′＝1＋2

xxB．(log2x)′＝1

xln 21C．(3x＋ln 3)′＝3x·ln 3＋

3D．(x2cos x)′＝－2xsin x

4.设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，则f′(1)＝________. 5．设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则＋a1＋a2＋…＋a99的值为________．

【答案】

1111．【解析】∵()′＝－2，∴f′(－3)＝－. xx9【答案】D 15－－－2．【解析】∵(ln x)′＝，(cos x)′＝－sin x，(x5)′＝－5x51＝－6，

xx∴A、B、D均不正确；C正确．

【答案】C 111x＋′＝1＋′＝1－2，A不正确．

3．【解析】xxx(3x＋ln 3)′＝(3x)′＋(ln 3)′＝3xln 3，C不正确．

(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，D不正确．

【答案】B 4.【解析】∵f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(1)＝3×12－4×1＋1＝0. 【答案】0 5．【解析】∵f′(1)＝n＋1，

∴y＝xn＋1n在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1.令y＝0，得xn＝，

n＋1∴an＝lg n－lg(n＋1)，

∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2. 【答案】-2 板书设计

作业