1.1.3 四种命题间的相互关系课件配套优秀

第3课时

命题及其关系

一．教学目标：通过对实例的分析,理解四种命题间的相互关系和判断命题真假的方法.

二：教学重点: 命题的四种形式及相互关系,四种命题的真假关系.

教学难点:

根据原命题写出逆命题、否命题和逆否命题,利用四种命题间的等价关系解题.

学法指导:

自主预习教材,结合导学案提供的实例去理解相应知识掌握四种命题的间的相互三．教学过程设计

(一)问题情景：有一家主人是一个不善言辞的木讷之人,一天主人邀请张三、李四、王五三人吃

关系和判断命题真假的方法. 饭,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打来电话说:“临时有急事不能来了.”主人听到随口说了一句:“你看看,该来的没来.”张三听到,脸色一沉,起来一声不吭地走了.主人愣了片刻,又道了句:“哎,不该走的又走了.”李四一听大怒,拂袖而去,主人尴尬不知所措.

(二):复习回顾：

1.四种命题的概念

对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的逆命题.

对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作原命题的否命题.

对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个命题就叫作原命题的逆否命题.

(三):新课学习：

1.四种命题之间的相互关系

(1)原命题的形式:若p,则q; 原命题的否命题形式:若p,则q; 原命题的逆命题形式:若q,则p; 原命题的逆否命题形式:若q,则p.

p的含义是p的否定, q的含义是q的否定.

p, q分别读作非p,非q.

(2)图形关系

议一议:所有命题都能写成“若p,则q”的形式吗? 【解析】任何命题都有条件和结论.数学中,一些命题表面上看不具有“若p,则q”的形式,如“对顶角相等”,但是适当改变叙述方式,就可以写成“若p,则q”的形式,即“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.这样,命题的条件和结论就十分清楚了.

2.四种命题真假性的关系

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

假

假

真

假

真

假

真

假

真

假

真

真

假

假

说明:(1)原命题与逆否命题的真假性相同,否命题与逆命题的真假性相同; (2)若两个命题互为逆命题(或互为否命题),则它们的真假性没有关系; (3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.

想一想:在“原命题、逆命题、否命题与逆否命题”四种命题中,真命题的个数可能为

(四):典例解析：

例1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断各命题的真假.

(1)若tan α<0,则α是第二象限角.

(2)已知a,b,c∈R,若a,b,c成等比数列,则b2=ac.

(3)给出两个数x,y,若x>y,则|x|>|y|.

.(讨论并回答) 【方法指导】明确每个命题的条件和结论是解决此类问题的前提,在判断命题的真假时,注意利用等价命题的思想进行判断,对于假命题,可以通过举反例说明.

【解析】(1)原命题是假命题,因为α也可能是第四象限角.

逆命题:若α是第二象限角,则tan α<0.它是真命题.

否命题:若tan α≥0,则α不是第二象限角.它是真命题.

逆否命题:若α不是第二象限角,则tan α≥0.它是假命题.

(2)原命题是真命题.

逆命题:已知a,b,c∈R,若b2=ac,则a,b,c成等比数列.它是假命题.

否命题:已知a,b,c∈R,若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac.它是假命题.

逆否命题:已知a,b,c∈R,若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列.它是真命题.

(3)原命题是假命题,当x=-1,y=-2时,|x|<|y|.

逆命题:给出两个数x,y,若|x|>|y|,则x>y.它是假命题.

否命题:给出两个数x,y,若x≤y,则|x|≤|y|.它是假命题.

逆否命题:给出两个数x,y,若|x|≤|y|,则x≤y.它是假命题.

变式训练1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.

(1)若a>b,则ac2>bc2.

(2)两个无理数的积仍是无理数.

【解析】(1)逆命题:若ac2>bc2,则a>b.它是真命题.

否命题:若a≤b,则ac2≤bc2.它是真命题.

逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b.它是假命题.

(2)逆命题:乘积为无理数的两个数都是无理数.它是假命题.

否命题:两个不都是无理数的积也不是无理数.它是假命题.

逆否命题:乘积不是无理数的两个数不都是无理数.它是假命题.

例2求证:已知函数f(x)是在R上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.

【方法指导】根据原命题写出其逆否命题,由于原命题与逆否命题是等价的,故判断逆否命题的真假,可得原命题的真假.

【解析】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是在R上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)

若a+b<0,则a<-b,b<-a.

因为f(x)是在R上的增函数,

所以f(a)

所以f(a)+f(b)

所以原命题的逆否命题为真命题, 即原命题为真命题.

变式训练2证明:对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.

【解析】将“对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b”视为原命题.要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题“对任意非正数c,若a>b,则a>b+c”为真命题.

因为a>b,由c≤0知b≥b+c,所以a>b+c.

所以原命题的逆否命题为真命题,从而原命题真命题.

即对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.

拓展提升：设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是(

A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0

).

【解析】“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”,“m>0”的否定即“m≤0”,故命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.

(五):课堂小结：

.若两个命题互为逆命题或互为否命题,则它们的真假性没有关系;若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性,所以当一个命题不易判断时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.四种命题为真命题的个数只能为0或2或4.

【答案】D (六):课后作业：

1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是(

).

A.原命题为真,逆命题为假

B.原命题为假,逆命题为真

C.原命题与逆命题均为真命题

D.原命题与逆命题均为假命题

2.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为(

).

①M中的元素都不是P中的元素; ②M中有不属于P中的元素; ③M中有属于P中的元素; ④M中的元素不都是P中的元素.

A.1 B.2 C.3 D.4 3.在空间中,给出下列两个命题:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.其中逆命题为真命题的是

.(填写命题的序号) 4.命题:已知a、b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.

5.命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是(

).

A.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数

B.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数

C.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数

D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数

6.若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是r,则r是p的逆命题的(

).

A.原命题

B.逆命题

C.否命题

D.逆否命题

7.设有两个命题: ①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R; ②函数f(x)=logmx是减函数(m>0且m≠1).

若这两个命题中有且只有一个真命题,则实数m的取值范围是

.

8.已知A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.

9.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),给出下列命题: ①若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数; ②若a2-b>0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数; ③当x=a时,f(x)有最小值b-a2; ④当a2-b≤0时,f(x)有最小值b-a2.

其中真命题的序号是

.