3.1.2 导数的概念第一课时评课稿

§1.1.2 导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念．

（一）、情景引入，激发兴趣

【教师引入】

：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

(二)、探究新知，揭示概念

教学环节

复

习

引

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：H(t)4.9t26.5t10，问在2秒【回顾1】

学生相互交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共【回顾2】

已知曲线C是函数f(x)4.9x6.5x10的图象,求曲线上点P(x0,y0)处的切线斜率. 【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？

2内 容

师生活动

设计意图

针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.

入 时运动员的瞬时速度为多少？

提

出

问

题

同之处.

1

①归纳共性 揭示本质

研究

求解问题

求解方法

本质

思想

对象

物体类

平均运动

物体在t求时间

求位移

求平均

求瞬时速度

速度

极限

规律

0时

比

具的瞬时速度

增量t

增量h

速度h

vlimhtt0t

的极思想

H=h(

体限

t) 探

例曲线上割线

子

曲线

求纵坐求割线求切线的斜P(索

xy=f(0,y求横坐0)

标

标

的

率

斜率

极限

的极思想

x) 点处切线的斜增量x

增量y

斜率y

klimyxx0x

限

率

一函数

函数在xx0

形

般y=f(处的变化率

？

？

？

？

？

？

情x) 成

形

【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的概

探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：

两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”念

的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都

可以概括为求平均变化率的极限. 【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道. 教学内 容

师生活动

设计意图

环节

②类比迁移

形成概念

引导学生利用求瞬时速度的用具体

【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在点x方法和思想类比探究，猜想得出到抽象，特类

0到殊到一般的

2

xy0+x之间的平均变化率的极限问题，也就函数在点x0处的变化率limx0比

x

思维方式，利用瞬时速是怎样计算函数在点xf(x

0处的变化率？

=lim0x)f(x0)x0x,并对度进行类比探

猜想的合理性进行分析后，引出

迁移，自然

定义1：（函数在一点处可导及其引出函数在索

导数）

一点处可导

和导数的概

念. 形

引出导数定义后，回归问题情景，反思概

念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的

成

瞬时速度”的本质. 由具体

到抽象再回概

到具体的过

程，感知上念

升到了理

性，强化了对概念的理解.

③剖析概念 加深理解

引导学

【探讨1】

怎样判断函数在一点是否可导？

组织学生阅读“导数”定义，生以数学语类

抓住定义中的关键词“可导”与言（文字语

“导数”交流探讨，然后通过师言、符号语判断函数yf(x)在点x比

0处是否可导 生互动挖掘这些概念之间的深层言

、图形语

转化

判断极限含义. 言）的理解、探

(x0x)f(x0)

把握、运用limfx0

x 是否存在

为切入点去索

揭示概念的

内涵与外

【探讨2】导数是什么？

延，提高学

3

形

成

概

念

描述角度

文字语言

符号语言

图形语言

本 质

瞬时变化率

分析导数的本质后，同时简单提及导数产生的时代背景.

生数学阅读和自主学习的能力.

让学生感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值. x0limy

x（切线斜率）

教学环

节

类

比

探

索

形

成

概

【探讨3】求导数的方法是什么？

2【例1】求函数y=x在点x1处的导数. 内 容

师生活动

设计意图

让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求函数yf(x)在点x0处导数的方法步骤：

（1）求函数的增量；

（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数.

用定义法求导数是本课的重点之一.有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用.让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握.

4

念

学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如

本题是教材上的(x)2忘写括号的现象加以纠一道例题.在学生建正.

立起导数概念，明确用定义求导数的方法之后,进行强化训练, 渗透算法思想，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固.

引

申 拓

展

发

展

概

念

利用例1继续设问，函数在x1处可导，那么x-1，x2，x3这些点也可导吗？从而引申拓展出定义2：（函数在开区间(a,b)内可导）

【探讨1】函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗？

【探讨2】存在的这个映射是否构成一个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则分别是什么呢？ 师生互动，共同探讨归纳函数在开区间(a,b)的每一点可导，每一点就有确定的唯一的导数.这样在开区间通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的相关知识相(a,b)内构成一个特殊的映射，这里的映射是数集到数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做f(x)在开区间联系，自然引入导函数概念，从而完成从函数在一点可导(a,b)内的导函数。它的定义函数在开区间内可导域是

函数在开区间内的导函数的两次拓展.

教学环

节

内 容

师生活动

设计意图

5

开区间(a,b)，对应法则是对开

【探讨3】怎样求新函数的解析区间内每一点求导.运用函数

式？

思想，只要把求一点处的导数

x

0替换成x，就可以求出导函

数的解析式.

探讨后引出定义3：（函数

yf(x)

在开区间(a,b)内的导函数）

引

申

拓

【例2】已知y=x，求（1）y′;（2）分学习小组让学生动脑本例共两

y′|x=2. 思考，动手“操作”，相互交流。个小问，第(1)展

书面总结出两小问的区别与联小问是教材上

系，选出代表作品用投影仪全的一道例题,

班交流.完善后，屏幕显示形成第(2)小问是补

共识：

充题.两问都是

【区别】

求导数，但它们

（1）函数f(x)在点x0有本质上的区发

处的导数，是在点x0处的变化别！学生容易产

率，是一个常数；

生混淆.通过此展

题让学生辨清（2）函数f(x)的导数是

“函数f(x)在概

对开区间内任意点x而言，是

f(x)一点处的导在开区间内任意点x的数”、“函数

6

念

变化率，是一个函数. f(x)在开区间【联系】一般而言，内的导数”与yf(x)在x0处的导数就是“导数”三者的导函数f(x)在x=x0处的函关系. 数值，表示为

y|xx0，这也是求f/(x0)的一种方法. 教学

内 容

设计意图

环节

练习：

设计练习1，巩固求导方练

1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2. 法；

设计练习2，通过适当习

2．设函数f(x)在x0处可导，则的变式训练，揭示概念的内反

f(x0x)f(x0x涵，提高学生的模式识别的馈 lim)x0x等于

能力，培养学生思维的深刻

A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0) 性和灵活性；设计练习3，体

3．

已知一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关验实际应用，展示概念的外巩

系S（t）＝-2t2+5t 延，让学生认识到数学来源固

（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；

于生活并应用于生活.通过概

（2）求物体在t时刻的瞬时速度；

练习，反馈学生对知识技能念

的掌握情况，以便及时调节（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么教学，更好的达成教学目标. 运动？

小

yf(x)在x0处可导及其导数

引导学生从知识、方法、结

思想和应用四个层面进行小①知识层面

： yf(x)在开区间(a,b)内可导 整

结，理清知识结构，提炼数理

yf(x)在开区间(a,b)内的导数学方法和领悟数学思想，培

②方法层面：用定义求导数的三个步骤

养应用意识.

7

形

③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化

成

思想

系

④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变统

化率问题的问题可以考虑用导数解决）.

必做题：1.教材P124习题3.1 1、2、3、4、5

(3)2,弹性的分层作业，照顾 2. 已知f(3)=2，f则分

到各种层次的学生.补充的层

lim2x3f(x)x3x3的值为（ ）

必做3，为下节课研究导数的作

（A）0

（B）－4 （C）8 （D）不存在

几何意义打下伏笔.可导与业

3.已知曲线C是函数f(x)2x21的图象

连续的关系，设计成选作题，

（1）求点A(1,3)处的切线的斜率

既不影响主体知识建构,又 （2）求函数在x=1处的导数

能使学有余力的学生得到进

选做题： 1.有条件的同学上网查阅有关微积分产生的一步的发展.利用网络，便于深

时代背景和历史意义的资料并交流讨论. 学生开展自主学习，拓展学化

***台. 2.函数f(x)=|x|在x=0处是否可导？

概

念

3.函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条 D.既不充分也不必要条件

8