3.2.2 直线的两点式方程国家获奖教案

直线的两点式方程

义乌市第五中学 应晓笑

一、教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法

在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）培养用联系的观点看问题。

二、

教学重点、难点

1、

重点：直线方程两点式。

2、

难点：两点式推导过程的理解。

三、教学过程

（一）复习引入

复习直线的点斜式方程和斜截式方程，并用这两种形式的方程解决以下问题：

求满足下列条件的直线方程：

（1）

过点(2，3)，斜率为2；

（2）

斜率为-5，在y轴上的截距为2；

（3）

过点A(8,-1),点B(-2，4)；

【设计意图】复习上节课的内容，并用已学过的知识解决问题，并思考如何解决两点确定直线方程的问题，从而引入新课

【师生活动】教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后用点斜式求出直线的斜率，从而用点斜式可求出直线方程；也会有学生用斜截式列出方程组，求出斜率与截距，从而求出直线方程。

（二）探究发现

探究1：已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。[来源

【设计意图】遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。

【师生活动】在复习例题的基础上，学生会尝试用点斜式写出方程

yy1y2y1(xx1)

x2x1教师指出：当y1y2时，方程可以写成

yy1xx1(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）. 探究2：若P1(x1，y1),P2(x2，y2)中有x1x2或y1y2，那么过这两点的直线方程又如何？

【设计意图】使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。

【师生活动】教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1。教师引导学生指出两点式直线方程适用范围（x1x2,y1y2，即不能表示垂直于x轴、y轴的直线（斜率不存在或k=0））

（三）例题巩固

例1：已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求

（1）

三条边所在直线的方程；

（2）

BC边上中线AM所在直线的方程．

【设计意图】让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。

【师生活动】教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出三边所在的直线方程和BC边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

探究3：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中ab≠0,求这条直线l的方程. 【设计意图】使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。

【师生活动】教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：

xy1

ab教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

引导学生说出截距式方程的适用范围（不能表示过原点，垂直于x轴、y轴的直线）

（四）课堂练习

1.

求过下列两点的直线的两点式方程：

（1）P1(2，1),P2(0，-3); (2)A(0,5),B(5,0). 2.

根据下列条件求直线的方程：

(1)

在x轴上的截距式2，在y轴上的截距式3；

(2)

在x轴上的截距式-5，在y轴上的截距式6. 3.

根据下列条件，求直线的方程：

求过点M（3，-4），且在两坐标轴上截距相等的直线方程

变:与两坐标轴围成等腰直角三角形

y1x2y5x0;(2) . 31020550xyxy2.

(1)1;(2)1. 235643.

yx或yx1

3解：1.（1）4.

⑴

过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? （2）过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? (3)过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的和为 0 的直线有几条? (4)过(1,2)并且在x上的截距是在y上的截距的两倍的直线有几条? （五）课堂小结

【设计意图】增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。

【师生活动】教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？:学*科*网（）

（六）布置作业

【设计意图】巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。

（七）板书

直线名称

点斜式

斜截式

两点式

截距式

（八）教后反思

本节课的所有内容以问题的形式展现给学生,学生始终在问题中探究,在问题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师只须时刻关注学生的活动过程,不时地给予引导,及时纠正错误，及时巩固。

已知条件

P1(x1,y1),k

直线方程

yy1k(xx1)

ykxb

yy1xx1y2y1x2x1k，b

(x1,y1)（x2,y2)

使用范围

k存在

k存在

x1x2

y1y2

a,b

xy1ab

a0

b0