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翻折问题

一、知识梳理：

1．

根据线面位置关系，确定点的位置；

2．

折叠问题与展开问题：

①立体图形与平面图形的相互关系

②折展后图形中的元素的位置与数量关系是否发生变化

. ③翻折问题常用的添加辅助线的方法是作棱的垂线. 例2.在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a

）

DC

A．0 a2B．2 ba2C．2

bD．a

bbEaF2222B解析：由图可知 CE=BE=ab 当CEB90时，CB=2(ab)A。

CFB

为所求平

2b22(a2b2)a22。

选（C）面角，由余弦定理得cosCFB。

2b2b例1．将两块三角板按图甲方式拼好，其中BD90,ACD30,ACB45，AC2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙。

（1）求证：BCAD；

（2）求证：O为线段AB中点；

（3）求二面角D—AC—B的大小的正弦值。

例3.

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连结A1B、A1P

(1)求证：A1E⊥平面BEP；

(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；

(3)求二面角B-A1P-F的余弦值。

A1 A

E

E F F 解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3 C C B B P P

（1）

在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=60 ,

∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1,

∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又BEEFE∴A1E⊥平面BEF,即

A1E⊥平面BEP （2）

在图2中，A1E不垂直A1B,

∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，

∴A1E⊥BE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=60 , ∴△EBP是等边三角形.又

A1E⊥平面BEP

,

∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且EQ3,又

A1E=1,在Rt△A1EQ中，tanEAQ100EQ3,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600

A1E0在图3中，过F作FM⊥

A1P与M，连结QM,QF,∵CP=CF=1,

∠C=60,

∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有PQ1BP1∴PF=PQ①, 2∵A1E⊥平面BEP, EQEF3

∴A1E=A1Q, ∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②, 由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP, o∴∠QMP=∠FMP=90,且MF=MQ, 从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角.

在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴A1P5. ∵ MQ⊥A1P∴MQFCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=60,由余弦定理得QF3

0A1QPQA1P2525∴MF在△557MF2MQ2QF2在△FMQ中，cosFMQ

2MFMQ8∴二面角B－A1P－F的大小为arccos7

87．(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(

) A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．

对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不

相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误．

对于选项B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB

对于选项C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，

∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．由上可知D错误，故选B.答案：B 1．如图，四边形ABCD中，

ABADCD1,BD2，

BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使ADC2，则下列结论不正确的是

（

）

A. ABCD

B. BAC2

C. 二面角ABCD的平面角的正切值是2

D. 异面直线AC与BD所成角的大小为【答案】C 

3【解析】对于A来说，∵DCBD，DCAD，∴DC平面ADB，∴ABCD，正确；

对于B来说，∵ABAD，

ABCD，∴AB平面ADC，∴ABAC，即BAC确；

对于C来说，取BD中点为O，连AO，易得：

AO平面BCD，过O点引OE⊥BC于E点，连接AE，2，正AO3，错误；

OE对于D来说，过C点引CF∥BC，且CF=BC，连AF，则∠ACF为所求角，易证△ACF为等边三角形，则∠AEO为所求角，tan∠AEO∴∠

ACF3，即异面直线AC与BD所成角的大小为，正确，

3故选：C 点睛：本题以折叠形式，多角度考查了线面的位置关系及空间角的度量问题，处理折叠问题的关键是抓住折前，折后那些量变了，那些量没有变，尤其是那些量没有变，本题隐含了丰富的垂直不变关系，抓住了这些不变量本题迎刃而解. 9.

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，

BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．

解析：将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图．连结A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形，

∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7. ∴A1C＝A1D2＋CD2＝49＋1＝52. 10．已知ABC的BC边上的高为AD，BDa，CDb，且ab，现将ABC沿AD折成大小为的二面角BADC，若cos直角

3.如图，平行四边形ABCD中，

BD23,AB2,AD4，将BCD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD. a，则三棱锥ABDC的侧面ABC是___________. 直角三角形，Bb

（1）求证：

ABDE

（2）求三棱锥EABD的侧面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）S823. 【解析】试题分析：（I）证明：在ABD中，由又平面EBD平面ABD

，所以

平面EBD平面ABDBD,AB平面ABD

AB平面EBD

DF平面EBD,ABDE

（Ⅱ）解：由（I）知ABBD,CD//AB,CDBD,从而在RtDBE中，

DB23,DEDCAB2

SABE又1DBDE23

2AB平面EBD,BE平面EBD,ABBE

BEBCAD4,SABE1ABBE4

2DEBD,平面EBD平面ABD

ED，平面ABD

而AD平面ABD,EDAD,SADE1ADDE4

2

综上，三棱锥EABD的侧面积，

S823

21．如图所示，已知等腰直角三角形RBC，其中RBC900，

RBBC2，点A,D分别是RB,RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PAAB，连结PB,PC.

（1）求证：

BCPB；

（2）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析；（2）6. 6【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件ADBC，PAAD，从而得到BCPA，再由BCAB，即可得到BC平面PAB，从而得出BCPB；

，PAAB，（Ⅱ）由PAAD

即可得到PA平面ABCD

从而连接AC，PCA便是PC与平面ABCD所成角，从而求出AC，PC的长，在直角三角形PAC中即可求cosPCA

．

试题解析：（1）∵点A、D分别是、的中点，

∴∴∠∴∵∴⊥平面.∴

=90º. ,

, .

∵平面,∴.

（2 ）由PAAD，PAAB，ADABA；

PA平面ABCD；连接A，CP便是PC与平面ABC所成角，

AB1，BC2，AC5；又PA1

，PAAC，PC6；∴在RtPAC中，

cosPCA＝AC5306

＝＝sinPCA＝PC6666．

6∴直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明方法，线面角的定义及求法（定义法），考查线面位置关系的分析，其中分析到AD平面PAB；PA平面ABCD

是解题的关键．

23．如图，在边长为4的菱形ABCD中, DAB60，点E,F分别是CD,CB的中点，

ACEFO，沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA,PB,PD，得到如图的五棱锥PABFED，且PB10

（1）求证：

BD平面POA（2）求二面角BAPO的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）39

，13【解析】试题分析：（1）先证明BD//EF,BDAC,EFAC，从而EFAO,EFPO，根据线面垂直的判定定理可证明BD平面POA；（2）设AOBDH，连接BO，以O为原点，

OF在直线为x轴，

AO所在直线y轴，

OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，分别求出平面BAP与平面APO的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（1）点分别是的中点

菱形的对角线互相垂直

（2）设，连接

ABD为等边三角形，

，在

，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系为原点，，则

所在直线为轴，所在直线为轴，中，在中，

设平面PAB的法向量为令得z3,x3

，由nAP,nAB得

平面PAB的一个法向量为n3,1,3，

由（1）知平面PAO的一个法向量为，



设求二面角BAPO的平面角为，

则coscosn,BHnBHn|BH|2339

，13213二面角BAPO的余弦值为39

，13【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 1、（2012韶关）如图(1)在等腰ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，现将ACD沿CD翻折，使得平面ACD平面BCD.(如图(2)) (1)求证：AB//平面DEF；

(2)求证：BDAC；

(3)设三棱锥ABCD的体积为V1、多面体ABFED的体积为V2，求V1:V2的值. 1、（1）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分

（2）∵平面ACD平面BCD于CD

AD⊥CD，

且AD平面ACD

∴AD平面BCD，又BD平面BCD，∴ADBD……………………7分

又∵CDBD，且ADCDD

∴BD平面ACD，又AC平面ACD

∴BDAC．………………………………………………………………9分

（3）由（2）可知AD平面BCD，所以AD是三棱锥ABCD的高

1ADSBCD……………………………………11分

3又∵E、F分别是AC、BC边的中点，

∴三棱锥ECDF的高是三棱锥ABCD高的一半

三棱锥ECDF的底面积是三棱锥ABCD底面积的一半

1∴三棱锥ECDF的体积VECDFV1…………………………………12分

413∴V2V1VECDFV1V1V1…………………………………13分

44∴V1∴V1:V24:3.…………………………………14分

2、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，

ADAB，CD2AB4，AD2，E为CD的中点，将BCE沿BE折起，使得CODE，其中点O在线段DE内. （1）求证：CO平面ABED；

DECDOθCEABAB

（2）问CEO(记为)多大时, 三棱锥CAOE的体积最大? 最大值为多少?

2、（1）证明: 在直角梯形ABCD中，

CD2AB，E为CD的中点，

则ABDE,又AB∥DE，

ADAB,知BECD.……………1分

在四棱锥CABEO中，BEDE,BECE，CEDEE，

CE,DE平面CDE，则BE平面CDE.………………………………3分

因为CO平面CDE,所以BECO.…………………………………4分

又CODE, 且BE,DE是平面ABED内两条相交直线, …………6分

故CO平面ABED.………………………………………………………7分

(2)解：由(1)知CO平面ABED，

知三棱锥CAOE的体积V111SAOEOCOEADOC……9分

332由直角梯形ABCD中,CD2AB4，AD2，CE2，

得三棱锥CAOE中，

OECEcos2cos,OCCEsin2sin,……………………10分

V22，

…………………………………………………………11分

sin233ππ，即时取等号，………………………12分

42当且仅当sin21,0,（此时OE2DE，O落在线段DE内）. 故当

π2时, 三棱锥CAOE的体积最大，最大值为. ………………13分

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