习题2.4教学设计案例

直线与圆锥曲线习题课

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

Ax＋By＋C＝0，即消去y，得ax2＋bx＋c＝0．

Fx，y＝0

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2．弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2

＝11＋2·y1＋y22－4y1y2.k判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(

) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(

) (3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(

) (4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(

) x2y2(5)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(

) 59答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

x2y21．[阿凡答1047611]直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(

) 94A．相交

B．相切

11＋2·|y－y|＝k12

C．相离

D．不确定

解析：选A

直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

2．[阿凡答1047612]“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A．

3．[阿凡答1047613]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．

解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．

答案：3

第一课时

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

基本考向

自主完成

[题组集训]

x2y21．[阿凡答1047614]双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，ab且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是(

) bA．k＞－

abbC．k＞或k＜－

aabB．k＜

abbD．－＜k＜

aabb解析：选D

由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜．

aa2．[阿凡答1047615](2016·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O∶x2＋y2＝4没有交点，x2y2则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(

) 94A．至多一个

C．1

B．2

D．0 4222＞2，∴m＋m＋n解析：选B

∵直线mx＋ny＝4和圆O∶x2＋y2＝4没有交点，∴

2m2n2m24－m52x2y2n＜4.∴＋＜＋＝1－m＜1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，949436942x2y2n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B．

94x2y23．[阿凡答1047616](2016·济南模拟)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与直线y＝3x无交ab点，则离心率e的取值范围是(

) A．(1,2)

C．(1，5)

B．(1,2]

D．(1，5] b解析：选B

因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则直ab线y＝3x应在两渐近线之间，所以有≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即ac2≤4a2，e2≤4，所以1

[方法链接]

直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点

(1)判定方法

①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．

②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．如“题组练透”第1题．

(2)关注点

①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．

②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．

弦长问题

一题多变

思维发散

考情分析：与圆锥曲线有关的弦长问题是高考考查的热点之一，各种题型均有可能出现，难度中档．

[阿凡答1047617]

x2y21已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．

ab2

(1)求椭圆的方程；

1(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，2|AB|53且满足＝，求直线l的方程．

|CD|4b＝3，c1解：(1)由题设知＝，a2b＝a－c，222

a＝2，解得b＝3，c＝1，

x2y2∴椭圆的方程为＋＝1．

43(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

2|m|∴圆心到直线l的距离d＝，

5由d<1得|m|<5.(*) 2421－m2＝

5515－4m2．

∴|CD|＝21－d2＝2y＝－2x＋m，设A(x，y)，B(x，y)，由xy4＋3＝1112222

得x2－mx＋m2－3＝0，

由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．

∴|AB|＝1＋－12[m2－4m2－3]＝15

4－m2．

224－m232＝1，解得m＝±，满足(*)．

35－4m|AB|53由＝得

|CD|41313∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－．

2323[名师说法]

弦长问题的求解方法

(1)涉及弦长问题中，一般利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；

(2)涉及过焦点的弦的问题，也可考虑用圆锥曲线的定义求解．

[跟踪训练]

[阿凡答1047618](2017·大同学情调研)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C(B在A、C之间)，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为__________．

解析：分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|13－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线22的方程为y2＝3x．

答案：y2＝3x

中点弦问题

一题多变

思维发散

考情分析：弦的中点问题在高考中的考查有两个方面，一是已知弦的中点，可以求得弦的斜率、弦的方程以及弦的垂直平分线方程等；二是不知弦的中点，但通过设参数得到弦的中点坐标，从而求得弦的方程进行下一步运算．

角度1：由中点弦确定直线方程

x2y21．[阿凡答1047619](2016·江西九校联考)已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P42引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为____________．

解析：法一

易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

y－1＝kx－1，22由xy消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝4＋2＝14kk－1，

2k2＋14kk－11又∵x1＋x2＝2，∴2＝2，解得k＝－．

22k＋11故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，

2即x＋2y－3＝0．

2x21y1法二

易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋42

＝1，①

2x2y22＋＝1，②

42

x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2①－②得＋＝0，

42∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

∴x1－x2y1－y21＋y1－y2＝0，∴k＝＝－．

22x1－x21∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，

2即x＋2y－3＝0．

答案：x＋2y－3＝0 角度2：由中点弦确定曲线方程

2．[阿凡答1047620]抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(

) A．y＝2x2

C．x2＝2y

B．y2＝2x

D．y2＝－2x

2y1＝2px1，2解析：选B

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y＝2px，则2两式相减y2＝2px2

y1－y2可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x．

x1－x2角度3：由中点弦解决对称问题

y23．[阿凡答1047621](2017·开封模拟)已知双曲线x－＝1上存在两点M，N关于直线32y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为____________．

解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，

x－y＝1，

②则3x＋x＝2x，

③y＋y＝2y，

④3221222012022y1x1－＝1，

①

1由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2．

3∴y2－y1y2＋y1y0·＝3，即kMN·＝3，

x0x2－x1x2＋x1∵M，N关于直线y＝x＋m对称，

∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0．

m3m－，，

又∵y0＝x0＋m，∴P44

9－m，

代入抛物线方程得m2＝18·416解得m＝0或－8，经检验都符合．

答案：0或－8 [名师说法]

处理中点弦问题常用的求解方法

(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有y1－y2x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即x1－x2可求得斜率．

(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

[题组集训]

1．[阿凡答1047622]若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在的直线斜率为2，则p的值为____________．

2y1＝2px1，

①解析：设过点(3,1)的直线交抛物线于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2y2＝2px2

②

y1－y22p2由①－②得y2＝，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB1－y2＝2p(x1－x2)，即x1－x2y1＋y22p＝＝2，∴p＝2．

y1＋y2答案：2 x2y22．[阿凡答1047623]已知双曲线2－2＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点ab的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且1x1x2＝－，则m的值为(

) 23A．

2C．2

5B．

2D．3 解析：选A

由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，

所以抛物线的方程为y＝2x2．

因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，

2所以y1＝2x21，y2＝2x2，

两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，

不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，

y1－y21所以＝－1，故x1＋x2＝－，

2x1－x2

11而x1x2＝－，解得x1＝－1，x2＝，

22设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，

2x1＋x2y1＋y22x2151＋2x2则x0＝＝－，y0＝＝＝，

24224因为中点M在直线y＝x＋m上，

513所以＝－＋m，解得m＝．

442

【技法总结】

求解与弦有关问题的两种方法

(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合韦达定理，建立等式关系或不等式关系．

(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．

【易错防范】

判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点

(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点．

(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．