1.2.1 中心投影与平行投影优秀教案案例

平面

教学目标：

1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．

2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．

导入：

生活中有许许多多看似顺理成章的现象值得我们思考，如：

[问题1]

若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？

[提示1]

在桌面上．

[问题2]

(1)为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚？

(2)照相机、测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？

[提示2]

可固定在同一平面上．

[问题3]

两张纸面相交有几条直线？

[提示3]

一条．

概念

几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是________画常常把水平的平面画成一个_____________，并且其锐角画成45°，且横法

的_____，为了增强立体感，被遮挡部分用________画出来

表(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；

示

(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；

方(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点

法

1.直线在平面内的概念

如果直线l上的__________都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α_______直线l. 2．一些文字语言、数学符号与图形的对应关系

数学符号表示A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂αl⊄αl∩m＝Aα∩β＝l

文字语言表达点A在直线l上点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外直线l在平面α内直线l在平面α外直线l，m相交于点A平面α，β相交于直线l图形思维启迪

从集合的角度理解点、线、面之间的关系

点、线、面间的关系通常借助集合中的符合语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成

的集合，几何中的很多符合规定都是源于将图形视为点集．故点与直线之间的关系，点与平

面之间的关系用符号∈，∉表示，直线与平面之间的关系用⊂，⊄表示．

数学符号表示A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂αl⊄αl∩m＝Aα∩β＝l

文字语言表达点A在直线l上点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外直线l在平面α内直线l在平面α外直线l，m相交于点A平面α，β相交于直线l图形平面的基本性质

公理

内容

如果一条直线上的______在图形

公理1

一个平面内，那么这条直线在____________

过_____________________公理2

的三点，_____________一个平面

如果两个不重合的平面有一公理3

个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________

A∈l，B∈

∈α⇒___A，B，C

在唯一的C∈α

P∈α且

________

思维启迪

1．公理1的作用：一是用直线检验平面，常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面

上的水泥浆；二是判断直线是否在平面内，经常被用于立体几何的说理中．

2．公理2的作用：①确定平面；②证明点、线共面．

公理2中要注意条件“不在一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平

面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在一

条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件

的重要性．

3.公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后

若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．

公理3的主要作用是：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题．

1．如图，平面不能用________表示(

)

A．平面α

B．平面AB C．平面AC

D．平面ABCD 答案：

B 2．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为(

) A．P⊂l⊂α

B．P∈l∈α

C．P⊂l∈α

D．P∈l⊂α

答案：

D 3.如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交

平面α于点P，Q，R.则P，Q，R三点________．

解析：

由公理3可知，P，Q，R三点在面α与面ABC的交线上．

答案：

在同一直线上

4．请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．

例. 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)

点P与直线AB；(2)点C与直线AB；

(2)

(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；

(5)

直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；

(6)

(7)平面A1B与平面AC. [思路探究] 用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系，可先后从哪

几个方面考虑？

解析：

(1)点P∈直线AB；

(2)点C∉直线AB；

(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；

(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；

(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.

小结: 1.三种语言表示的优缺点

(1)文字语言表达严谨清楚，便于揭示所述问题的本质，缺点是复杂冗长．

(2)图形语言一目了然，清晰直观，缺点是需要较强的空间想象能力．

(3)符号语言，便于书面表示，缺点是直观性差．

2．三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个

平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，

再用符号语言表示．

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

作业：

1．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 2. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，

AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．