1.1.2 四种命题主要内容及教案内容

四种命题及四种命题间的相互关系

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P4～P8的内容，回答下列问题．

观察教材P4“思考”中的4个命题：

(1)这4个命题的条件和结论各是什么？

提示：命题(1)的条件：f(x)是正弦函数，结论：f(x)是周期函数；命题(2)的条件：f(x)是周期函数，结论：f(x)是正弦函数；命题(3)的条件：f(x)不是正弦函数，结论：f(x)不是周期函数；命题(4)的条件：f(x)不是周期函数，结论：f(x)不是正弦函数．

(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？

提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．

(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题．

2．归纳总结，核心必记

(1)四种命题的概念

①互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

(2)四种命题结构

(3)四种命题间的相互关系

(4)四种命题的真假性

一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

[问题思考] (1)命题“若a≠0，则ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？

提示：逆命题：若ab≠0，则a≠0；否命题：若a＝0，则ab＝0；逆否命题：若ab＝0，则a＝0．

(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？

提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．

(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？

提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．

(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？

提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．

[课前反思] (1)四种命题的概念是：

；

(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？

；

(3)四种命题的真假性有什么关系？

．

1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：

(1)若x>－2，则x＋3>0;

(2)两条对角线相等的四边形是矩形．

[尝试解答]

(1)逆命题：若x＋3>0，则x>－2；

否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；

逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2. (2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．

逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；

否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；

逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．

写出一个命题的其他三种命题的步骤

(1)分析命题的条件和结论；

(2)将命题写成“若p，则q”的形式；

(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．

[注意]

如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

1．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：

(1)正数的平方根不等于0；

(2)若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0. 解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；

否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；

逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．

(2)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；

否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；

逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R)．

[思考1]

若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？

名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性．

[思考2]

若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？

名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．

2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；

(2)相等的两个角的正弦值相等；

(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3;

(4)若x∈A，则x∈A∩B. [尝试解答]

(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.真命题；

否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B，真命题；

逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.真命题．

(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；

逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．

(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；

否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；

逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．

(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；

否命题：若x∉A，则x∉A∩B.真命题；

逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A.假命题．

判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．

2．有下列四个命题：

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 解析：选B

(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．

3．在命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．

解析：容易判断，命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．

答案：2

[思考]

我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？

名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．

3．(1)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

(2)(链接教材P8－例4)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

[尝试解答]

(1)法一：原命题的逆否命题：

“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．”

真假判断如下：

因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a<1，则4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

法二：先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

所以a≥1.所以原命题成立．

又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

4．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，

所以m2＋n2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2. (2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3. 3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．

4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

课时达标训练（二）

[即时达标对点练] 题组1

四种命题的概念

1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A．若a∉A，则b∉B

B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A

D．若b∉B，则a∉A 解析：选B

命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式．

2．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是__________，逆否命题是__________．

答案：若x>0，则x>1

若x≤0，则x≤1 3．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填

序号)．

答案：②和③

①和③

①和②

题组2

四种命题的真假判断

4．下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

解析：选A

对A，即判断：“若x>|y|，则x>y”的真假，显然是真命题．

5．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(

) A．原命题、否命题

B．原命题、逆命题

C．原命题、逆否命题

D．逆命题、否命题

解析：选C

因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．

6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．

解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．

答案：假命题

题组3

等价命题的应用

7．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．

又原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．

8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为：“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”，

当a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．

[能力提升综合练] 1．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

) A．互逆命题

B．互否命题

C．互为逆否命题

D．以上都不正确

解析：选A

设p为“若A，则B”，那么q为“若，则”，r为“若，则”．故q与r为互逆命题．

2．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.其中真命题的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 解析：选B

命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，

对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0. 3．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．

其中真命题的序号为(

) A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

解析：选C

命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．

4．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：

①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；

②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；

③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．

其中所有正确叙述的序号是________．

解析：原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．

答案：①②

5．已知：A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：

①a⊥α，b⊄α，若b∥α，则b⊥a;

②a⊥α，若a⊥β，则α∥β；

③a⊂α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，若a⊥c，则a⊥b；

④a⊥α，若b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b. 其中逆命题为真的是________．

解析：④的逆命题：“a⊥α，若a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c可以在α内，故不正确．

答案：①②③

6．已知命题“若m－1

解析：由已知得，若1

∴∴1≤m≤2. 答案：[1，2] 7．设命题p：若m<0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根．

(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题；

(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论) 解：(1)p的逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根，则m<0. p的否命题：若m≥0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根．

p的逆否命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根，则m≥0. (2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题．

8．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

解：(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需要判断原命题的真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．