3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计(教案)

3.1.3空间向量的数量积运算

一、

内容及解析

空间向量的数量积是在学生学***面向量的数量积的基础上对知识的巩固和加深。掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题. 二、内容及解析

目标定位：掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

目标解析：空间向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，

即

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 空间数量积的性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 三、问题诊断

学生在学习中已经学***面向量的数量积，可能会形成对新知识的干扰，教学中要注意新旧知识的联系与区别。

四、教学支持条件 尺规、多媒体

五、

教学过程：

复***面向量数量积定义？

（平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.）

问题：空间向量的数量积与平面向量数量积的异同？空间向

量的数量积应注意哪些知识点？

问题1：两个向量的夹角如何定义？

解析：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，

记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞．＜a、b＞＝０时，a与b同向；

当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝时，称a与b垂直，记a⊥b．

2⑵

两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须

是同起点的．

②＜a,b＞(a,b) 问题2：怎样定义两个向量的数量积？

解析：已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 问题3：空间向量的数量积几何意义的理解？

解析：已知向量AB＝a和直线l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影′，则A'B'叫做向量简称射影．可以证明：A'B'AB在轴l上或在e方向上的正射影，＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

问题4：空间数量积的性质？

解析：空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.

⑷cos＜a,b＞＝abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜. 问题5：

空间向量数量积的有哪些运算律？

解析：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；

⑵

a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律) 说明：

⑴(a·b)c≠a（b·с）；

⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

例题：课本P91例2、设计意图：数量积性质、运算律的应用

变式训练：例3

六、课堂小结

1、空间向量a、b的数量积？

2、空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b

＝－｜a｜·｜b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝

⑷cos＜a,b＞＝

aaa2. abab;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.