3.1.3 空间向量的数量积运算课件配套优秀获奖教案

3.1.3．空间向量的数量积

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重难点：

空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教法、学法分析：

1．教法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；

2．学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。

教学过程分析：

根据二期课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作了如下的调整：基于教材中主要是运用向量夹角求异面直线所成的角，所以，首先让学生掌握教材所要求的基本面；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了两个分别运用向量的“代数运算”和“几何运算”来处理空间几何问题的典型例题，为解决空间的度量、位置关系问题找到一种新方法，进一步拓展了学生的思维渠道。

教学设想：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。

教学过程: （一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAaO,Bb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b

2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

e

B

A

B

C

A

|AB||AB|cosa,e|ae．|

1

4．空间向量数量积的性质：

（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|2aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

（三）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

nglmnmgl∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例2．已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB 证明：由已知OABC，OBAC

所以OABC0,OBAC0OA(OCOB)0OB(OCOA)0所以OAOCOAOBOBOCOBOA

A

O

所以OAOCOBOC0(OAOB)OC0BAOC0所以OCAB

C

B

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

2

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

OABC24162322

∴cosOA,BC，

855|OA||BC|322．

5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，所以，OA与BC的夹角的余弦值为切记！

例4．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，

∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

（四）巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。

（五）小结：1．空间向量的夹角及其表示

2．向量的模

3．向量的数量积

4．空间向量数量积的性质

5．空间向量数量积运算律

（六）作业：课本第106页第3、4题

2板书设计：

3.1.3．空间向量的数量积

一、空间向量的数量积 二、例1 例3 1．空间向量的夹角及其表示

2．向量的模 例2 例4 3．向量的数量积

4．空间向量数量积的性质

三、小结

5．空间向量数量积运算律

教学反思：

按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，3

学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

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