习题2.1新颖的课程导入教案

曲线与方程教学设计

一、教材的地位与作用

“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线. 研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．

二、教学目标分析

（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；

（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系. （4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用．

三、教学重点和难点

重点：（1）理解曲线的方程与方程的曲线的概念，判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；

难点：“恰当”地建立平面直角坐标系. 四、教法分析

学生通过函数y=f(x)及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．

五、学情分析

1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题. 这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．

2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．

3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题. 4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领. 六、教学过程设计

教学过程

师生活动

设计意图

意图：通过建立平面引子：如果你邀请朋友在教师提出问题让学生思你所在城市的某餐馆聚考，然后通过建立平面直直角坐标系，用坐标来刻

会，你会怎样告诉他（她）角坐标系，给出聚会地点画点的位置，为后面用点聚会地点？

的坐标。

与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。

[问题1]一艘轮船在教师提出问题后让学生意图：体会坐标法的沿直线返回港口的途中，交流并回答他们的想法，思想，强调研究曲线与方接到气象台的台风预报：在此基础上，教师归纳并程的概念的必要性，让学台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形演示过程：如图建立直角生体会数学方法的好处. 坐标系，得出船的航线的

方程为4x+7y-28=0，圆形区域．已知港口位于台风区域的边界圆的方程为中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线（航行方向与东向西方向的x2+y2=9. 进一步问学生：如果没有坐标法，没有直线的夹角的正切值为4/7），那方程与圆的方程，但要确么它是否会受到台风的定能否让船按原定航线影响？

[问题2]在平面直角坐标航行，你会怎样做？

让学生尝试求直线的方意图：为引出曲线的方程与方程的曲线的概系中，经过点(x0,y0)，且程，在得出直线的方程方向向量为的后，教师介绍怎样说明所念做铺垫. 得的方程就是直线的方程．

直线是唯一确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？

[问题3]你能说明中让学生先思考，然后教师意图：让学生体会教

心在(a,b)，半径为的圆引领学生完成说明过程. 师在[问题2]中介绍的的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2吗？

“说明所得方程是直线的方程”的方法，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.

[问题4]对一般的曲让学生先思考，然后教师意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.

线与方程，你能给出方程引领学生阅读教材上的是曲线的方程，曲线是方“定义”，给出曲线的方程的曲线的概念吗？

程与方程的曲线的概念.最后问学生

[问题5]给定命题A：学生回答，教师评析．学意图：加深对曲线的方程“方程f(x,y)=0是曲线的方程”；命题B：“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？

生完成教材P37练习第1与方程的曲线的概念的题，并将题中的“中线AO认识

（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？学生完成P37练习第2题．

[问题6]你能画出函（1）师生画出函数意图：理解用解析式表示的函数与其图象之间的数的图象的图象C 关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念

吗？图象C上的点相应于（2）学生思考“图象C坐标轴的距离而言具有上的点相应于坐标轴的怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象C上？

距离而言具有怎样的几何特征”；（3）学生思考“到两坐标轴的距离的

.

乘积是常数的点都在图象C上”吗？；（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是”；（5）证明所得结论，完成教材P35例1．

[问题7]阅读教材学生阅读教材并提炼回意图：明确解析几何P35“2．1．2求曲线的方答内容，请学生回答，教研究的基本内容. 程”的第一段内容，你能师点评．

得出什么结论？

应用举例：已知平面上的（1）教师讲解例题（2）意图：归纳求曲线的教师根据上述过程总结方程的步骤，体会坐标法线段BC的长为，动求曲线的方程的步骤（见的基本思想．

点A位于线段BC所在直教材P36）.（3）提问学

线的同一侧，且向线段BC生，有无其它建立坐标系所张的角恒为，动点的方法使点A的轨迹方程更简单，更简单的原因是

A的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长什么？教师归纳总结建度吗？

立坐标系的一般要点．（4）提问学生思考：2为什么不能把x2+(y-1) = 4作为点A的轨迹方程？（5）学生练习教材P37练习第3题．

[问题9]已知一条直（1）师生一起讨论如何意图：帮助学生熟悉线和一个点F，点F到l画出图形，如何建立坐标和巩固求曲线的方程的

的距离是2．一条曲线上系．（2）让学生按步骤求步骤. 面的点到F的距离减去到出曲线的方程．（3）师生l的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程系，求出这条曲线的方程中出现多余的解．（4）简吗？

[问题10]建立坐标化求解步骤．

学生思考交流，教师帮助意图：归纳总结本节内容.

系后，是否存在一条曲线总结. 有两个不同的方程？你能以[问题1]和[问题8]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗？