习题4.1教案板书设计

圆的一般方程教学设计

高健

教学目标：

1．理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准

方程化为一般方程；

2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，

会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；

3．逐步学会将圆的一般方程表示为标准方程．

教学重点与难点

重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.

难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

教学过程

一、

复习并引入新课

二、

课前练习．

1.圆心在（-1,2），与y轴相切，圆方程为____________________________;

2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),圆方程为_________________________;

3.已知两点A(4,9)、B(6,3), 以AB为直径的圆的方程是________________;

师：圆的标准方程的一般形式是什么？．

生：xaybr．

222

师：它的圆心坐标和半径各是什么？

生：圆心坐标是a,b，半径是r.

师：将其展开并整理，得到什么形式？

生：xy2ax2byabr0．

22222

1

师：这个方程有点长，为了表示的简单些，我们把2a记为D，把2b记为E，把abr记为F，就得到了x2y2DxEyF0.(*) 222这说明圆的方程都可以写成这种形式.那么,它一定表示圆吗？表示圆的条件是什么？它与圆的标准方程又有什么区别和联系？这就是本节课我们所学习的内容. (板书课题：4.1.2圆的一般方程)

三、新课

师: 请大家动动手，将方程x2y2DxEyF0左边配方.

(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) DED2E24F

将（*）式配方得:xy.

224

1．当D

+E－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以

2222

1DE,为圆心，D2E24F为半径的

圆；22222式只有实数解x

2．当DE4F0时，ED

，22DE,y,即(*)式表示一个点22

3．当D

+E－4F<0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．

教师总结：当D

+E－4F＞0时，方程x+y+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程. 练习P123 222222练习1：（1）、（2）、（3）

练习2: (1)、(2)

规律总结

师：圆的一般方程与标准方程如何互化？

生：标准方程展开整理得到一般方程；一般方程通过配方得到标准方程．

2

师：表示圆的方程有几种形式．

生A：两种.一种是标准方程：xaybr

；另一种是一般方程：222x2y2DxEyF0

生B：一般方程得加上条件D

+E－4F＞0．

师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．

五．例题讲解

例4．求过三点O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2)的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.

分析：由于O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一条直线上，因此经过O,M1,M2三点有唯一的圆．

解：法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，

∵O,M1,M2三点都在圆上，

∴O,M1,M2三点坐标都满足所设方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所设方程，

22F0D8得：DEF20解之得：E6

4D2EF200F0所以，所求圆的方程为x2y28x6y0．圆心坐标（4，-3），半径r=5. 法二：也可以设圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2将点的坐标代入后解方程组也可以解得(x4)2(y3)225

师：看这两种方法的解答过程，采用的是什么方法？

生：待定系数法. 师：用“待定系数法”求圆的方程的步骤是什么？

生：(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出a, b, r

或D, E, F的方程组;(3)解出a,b,r

或D,E,F,代入标准方程或一般方程.

师：求圆的方程时,如何恰当选用圆的方程形式？

生：①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

教师补充：特殊情况时,可借助图象求解更简单.

五、小结

3

1.方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是D

+E－4F＞0.

222.圆的一般方程与标准方程的互化.

3.用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式. 六、作业：

教材第124页

必做题：A组第3、4、6题

设计思想

这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过

程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”

在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．

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