探究与发现 为什么是双曲线的渐近线优秀课堂实录

bx2y2标题：为什么yx是双曲线221的渐近线？

aab学情分析：

1.学生情况分析

bx2y2本节课是在学生已经学习了双曲线的性质，并且知道yx是双曲线221的aabbx2y2渐近线基础上再进行深入教学，验证为什么yx是双曲线221的渐近线。在教aab学中，往往直截了当地给出发现的结果，而淡化了新知识的探究验证过程，因此需要引导学生从图像的直观感受过渡到严格的代数证明上，培养学生的验证运算能力。

2.教学内容分析

本节课选自人教版选修2-1第二章圆锥曲线与方程第三节双曲线的探究与发现。渐近线是双曲线的一个区别于椭圆的不同性质，也是双曲线重要的几何特征与基本性质。通过学习双曲线的渐近线，可以使学生对曲线的渐近线有新理解与新认识。双曲线的渐近线又是高考中的热门考点，因此有必要进行深入的研究。

3.教学理念分析

在问题转化过程中,学生通过积极参与、勇于探索的学习方式,让学生的学习过程成为教师指导下的再创造,这也正是建构主义理论的本质要求;遵循学生认知规律,尊重学生个体差异,立足教材,通过对问题的再创造,体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则,让不同层次的学生得到不同层度的发展;通过激发兴趣,强调自主探索与合作交流,让学生逐步地从学会走向会学,由被动走向主动,由课堂走向社会,为学生的终身学习和终身发展奠定良好的基础,也是当前新课程所追求的基本理念。

教学目标：

x2y21.知识与技能目标：理解双曲线存在渐近线，并能够证明双曲线221的渐近线就是abbyx，掌握求解双曲线渐近线的方法，经历学习双曲线渐近线的过程，进一步培养学a生动手操作以及数形结合的能力，

同时也培养学生的推理能力与运算能力. 2.过程与方法目标：通过画出双曲线图象引入渐近线的定义，从而去证明双曲线的渐近线方程，循序渐进地去探究双曲线渐近线问题，体验数与形结合的思想，使学生体验根据方程研究曲线性质的放法，进一步建立数与形的内在联系.

3.情感、态度、价值观目标：由双曲线渐近线的发现过程使学生感受探索的乐趣；由方程证明猜想过程，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度，增强学习数学知识的兴趣。

教学重难点

重点：双曲线的渐近线的形式和在作图中的意义;

bx2y2难点：证明双曲线221的渐近线就是yx.

aab教学过程：

一、课堂引入及情境创设

课前：播放音乐‘悲伤的双曲线’，引入本节课的课题

问题归纳：如歌曲中所唱，双曲线与渐近线虽在同一平面，但漫漫长路无交点.那么对于所x2y2有的双曲线221ab当它伸向远处时，趋向又如何？

为什么它的渐近线就是

byx？（板书课题）

a二、新课讲授

x2y21的图象，提问两位同学所画的双曲线有没有问题. （选择两位具探究一：画出916有代表性的进行投影展示）

情形1：第一幅图没有画出渐近线。因为双曲线应该被渐近线束缚着，但是不会相交.

师生活动：如何画出渐进线呢？分别经过(-3,0)，(3,0)，(0,-4)，(0,4)x=3，y=4围成一矩形，矩形的两条对角线方程为3y=4x，即渐近线方程。从图上来看双曲线x2y21的各支向外延伸时与这两条直线逐渐接近.

916情形2：第二幅图象双曲线与渐进线并没有无限靠近，而有远离的趋势。

师问：那我们该如何去定义双曲线的渐近线呢？

师生活动：在曲线C上任取一点P，设点P到定直线L的距离为d，当点P趋向于无穷远时，距离d会趋向于0，此时就把定直线L称为曲线的渐近线. （引入渐近线的概念）

【设计意图】通过画双曲线图象从而辨析对错，自让学生回旧知识，从而改善学生对新知的陌生心理，自然地引入了渐近线的概念，同时也为后面学习双曲线的渐近线证明过程奠定了良好的知识与方法基础.创设问题情境，激发学生学习的兴趣以及发现问题的能力.

bx2y2探究二：对于一般的双曲线221来说，它的四支永远会与渐近线yx无限接近，aabb为什么直线yx是双曲线的渐近线呢？数学是严谨的，所以我们该如何证明“无限接a近”？

（教学中启发学生可以从渐近线定义出发证明，并且从代数理论上去刻画“无限接近”，并且鼓励学生用多种方法去证明）

师生活动：可能出现的情形有

1.以第一象限为例，如图，设M(x,y)是双曲线在第一象限内的任意一点.点M到直线

ay=bx的距离为：MP，当x无限增大时，MP趋向于0.

2.可以采用“化斜为直”方法，设Q(x,y')是直线上与M(x,y)有相同横坐标的点，则当x无限增大时，MQ趋向于0。又因为MP

3.设N(x,y)是直线上与M(x,y)有相同纵坐标的点，则当y无限增大时，MN趋向于0, 又因为MP

4.事实上由cMP=aMQ，同理cMP=bMN

5.也可以从斜率的角度进行分析：在双曲线上任取一点M(x,y)，作直线OM，当x无限增大时，kOM就趋向于b/a.

师生总结：双曲线在第一象限的部分从直线的下方逐渐接近直线. 同理其他象限证明类似，bx2y2因此我们可以得出直线yx就是双曲线221的渐近线.

aabbx2y2探究三：除了yx之外，双曲线221还有没有其它的渐近线？

aab师生活动：根据情形5可以发现，在双曲线上任取一点M(x,y)，作直线OM，当x无限增大时，kOM就趋向于b/a，若存在其他直线时，此时与渐近线的概念就会矛盾了，所以不存在其它的渐近线了. 【设计意图】学生经历从片面到全面、从模糊到清晰、从表象到本质的复杂的思维过程，使学生在探究验证中发现，逐步认识双曲线渐近线的本质内涵，从而使得学生头脑中有对形的变化的直观认识，使学生在开放的学习情景中经历知识的再发现和再创造，很好地培养了学生勇于探索发现、不断进取的数学精神.

三、双曲线与渐近线的联系

探究四：如果我们已知某双曲线的渐近线为y师生活动：令a=3k，b=4k问：正确吗？

答：不对，还存在焦点在y轴上的.

问：那么我们是否可以不用考虑焦点位置直接得出双曲线方程呢？

师生总结：对于任意两条渐近线y4x你能写出双曲线的方程吗？

3x2y2,则双曲线方程为122(3k)(4k)

bx，那么可以得出双曲线方程为ax2y2(0).（并且启发学生发现同渐近线的双曲线族）

a2b2师生活动：通过动画演示已经知道的正负会影响焦点位置，那么请问当=0时，是什么图形？（引导学生图象观察，发现就是其渐近线）当=0时，就是其渐近线.（引导学生从形到代数证明过渡）

【设计意图】通过层层设问，让学生在探索、证明的过程中体验了代数论证的魅力；领悟到怎样将几何问题代数化的途径.

四、板书：

双曲线的渐近线探讨

定义

注意事项：

证明：法一：

法二：

法三：

探究三：

探究四：