3.1.1 空间向量及其加减运算优秀教学设计

《3.1.1 空间向量及其加减运算》教学设计

一、教学内容分析

本节内容为人教版高中数学教材选修2-1《空间向量及其加减运算》，空间向量及其加减运算是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。首先，它是在平面向量学习的基础之上来学习的；其次,学习它也是为进一步更好更快的解决立体几何中的问题等内容做好准备。

二、教学目标

1、知识与技能：

1）．了解空间向量的概念．

2）．掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算；经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．

2、过程与方法：通过类比的方法学习空间向量的加减运算，培养学生类比归纳和发现解决问题的能力。. 3、情感态度与价值观：通过本节课的，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。

三、学习者特征分析

空间向量的加减运算是在平面向量的加减运算的基础之上进一步学习的，相对于数学一个新板块的启蒙学习，学生在理解上还较容易，但由平面向量的加减运算类比学习空间向量的加减运算对学生来说较难。首先在平面向量这一块，三角形法则与平行四边形法则等知识，学生掌握的还不透彻，接受新知识更不言而喻，因此，对于学生来说，这节内容应用起来较难。

四、教学策略选择与设计

本节内容为一课时，两目标，一是了解空间向量的概念；二是掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算；经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．

复习旧知识引出新知识，平面向量加减法的三角形法则、平行四边形法则运算等，再由学生尝试说出空间向量的相关定义，类比归纳得出新知。

五、教学重点及难点

①重点：空间向量的有关概念及线性运算法则。②难点：空间向量加减法的运算律的灵活应用。

六、教学过程

教师活动

目标解读

学生活动

掌握空间向量的有关概念，会进行空间向量加减运算，理解空间向量线性运算律

1，平面向量的相关概念。

2，平面向量的加减运算及运算律。

设计意图

让学生明确目标这节课的学习目标

预习反馈

复习旧知识，引出新知识

1．在空间中具有__________的量叫做空间向量．

例1 飞机飞行的速度、位移、高度及飞机的重量中是向量的量有：__________. 2．与平面向量一样用__________表示向量，如 表示____________．

例2 有向线段的方向表示向量的______．有向线段的长度表示向量的______．

3．向量的模是__________也叫做向量的长度，用有向线段的长度表示．

→的模用________表示．

例3 向量AB

答案：

1．大小和方向

例1 速度、位移

2．有向线段

A为起点B为终点的向量

例2 方向

大小

3．向量的大小

4．空间向量的加减法遵循____________和________．

例4 空间任意两个向量都可以通过____转化为平面向量．两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然____．同理：空间两个向量加法的__________也在空间仍然成立．

加法：平行四边形法则：→知识梳理

为平行四边形)；

成立

三角形→＝→ (首尾相连)．

→＋AC三角形法则：OAOC

例3 |→| AB

4．平行四边形法则

三角形法则

例4 平移

OA

→＝→ (四边形OACB＋OB

OC

法则

→－→＝→ (方向指向被减数)．减法：三角形法则：OB

5．长度相等且OA

AB

5．向量相等：______________的向量．

→则|→|＝|→|反之，若|→|＝→＝CD例5 已知AB

CD

AB

AB

→|则 →＝→成立吗？

|CD

CD

AB

方向相同

例5 不成立

例6 (1)向量

(2)同一或相等

(3)两条有向线段

同一平

面内

6．起点和终点

例7 例6 (1)空间的一个平移就是一个______．

(2)向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示__________的向量．

(3)空间的两个向量可用同一平面内的________来表示，空间任何两个向量都可以看作____________的向量．

6．一般地，空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于__________相连的有向线段．

→→＝________. →＋BC

＋CD例7 三个向量的和AB

→

AD

例1

如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为5

的所有向量．

→相等的所有向量．

(3)试写出与AB

→(4)试写出AA1

的相反向量．

例题讲解

解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方形4条

→→→→→→→高所对应的AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，

→D1D这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不

为1，故单位向量共8个．

(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，

→→→→→→

故模为5的向量有AD1，D1A，A1D，DA1，BC1，C1B，

→→B1C，CB1共8个．

→(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)共有

→→→A1B1，DC及D1C13个．

→→→→→(4)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D. 例 2平行四边形ABCD平移向量a到A′B′C′D′的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－A′B′C′D′.它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′化简下列向量表达式，标出化简结果的向量．

→→→→→(1)AB＋BC；(2)AB＋AD＋AA′；

1→1→→→→→

(3)AB＋AD＋CC′；(4)(AB＋AD＋AA′)．

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分析：利用向量的加减法的三角形法则，并注意平行六面体的几何性质的应用. 点评：平行六面体是空间几何中一个重要的几何体，它有许多性质需

要同学们课后加以学习和研究．

→→→解析：如图：(1)AB＋BC＝AC；

→→→→→→(2)AB＋AD＋AA′＝AC＋AA′＝AC′；

(3)设M是线段CC′的中点，则

→→1→→→→AB＋AD＋CC′＝AC＋CM＝AM；

2(4)设G是线段AC′的三等份点，则

1→→1→→→(AB＋AD＋AA′)＝AC′＝AG；

33→→→→向量AC，AC′，AM，AG如上图所示．

一、选择填空题

→＋BC

1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式DD1

－AB

→→化简后的结果是( A ) →→→→A.BD1

B.D1B

C.B1D

D.DB1

2．对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 ( B ) A．b＝λa B．a＝λb C．a＝b D．a＝－b

随堂练习与学生展示

1．两个非零向量的模相等是这两个向A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

→，BC→，AC→，2．对于空间非零向量AB→＋BC→＝AC→

A.AB→－AC→＝BC→

B.AB

量相等的(

)

下列各式一定不成立的是(

)

3．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的→→→1C．|AB|＋|BC|＝|AC| →→→→→| ＝c，则下列向量中

与 →AA1D交点，若＝a，b，A1B1

D．|AB|－|AC|＝|BC1

＝A

相等的是(

) 111A．－a＋b＋c

222111B.a＋b＋c

22211C.a－b＋c

2211D．－a＋b＋c

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点评与课堂小结

小结：

1．处理向量化简类题时注意充分利用图形及平行四边形法则与三培养学生梳理角形法则．

总结的习惯

2．记忆适当的结论，如三角形底边中线向量以及平行六面体对角线向量等的表示．

作业布置

教材P86练习题

第3题

检查课堂学习效果

七、教学评价设计

评价内容

姓名

评价项目

学生自评

优

良

中

差

课堂表现

回答问题

作业态度

知识掌握

综合评价

寄语

学生

评价

日期

教师评价

良

中

差

生生互评

优

良

中

差

优

八、板书设计

一，复习回顾 3，运算律 2空间向量的加减运算 四，练习

1，平面向量的概念 二，探究新知 3，运算律 五，课堂小结

2，平面向量的运算 1空间向量的有关概念 三，应用举例 六，课下作业

九．教学反思