3.1.2 导数的概念优质课一等奖

3.1.2 导数的概念

【教学目标】

知识技能：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 过程方法：通过问题的探究让学生体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．

情感态度：通过运动的观点体会导数的内涵，帮助学生轻松掌握导数概念，激发学生学习数学的兴趣

【教学重点难点】

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.

教学难点：导数的概念.

【教学过程】

一．创设情景

（一）平均变化率

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? （二）探究：

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

思考:又如何求瞬时速度呢?

二．新课讲授

1．瞬时速度

度是不同的.我们把物体在某一时

在高台跳水运动中,运动员在不同时刻的速

刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不一定能反映他她在某时刻的瞬

时速度.。那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,t2时的瞬时速度是多少?

我们先考察t2附近的情况.在t2之前或之后,任意取一个时刻2t,t是时间的改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0.当t0时,2t在2之前;当t0时,

2t在2之后.计算区间2t,2和区间2,2t内平均速度v,可以得到如下表格.

h(t)4.9t26.5t10△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内v4.9t13.1当△t = –0.01时,v13.051当△t = –0.001时,v13.0951△t = –△t = –v4.9t13.1当△t =0.01时,v13.149当△t =0.001时,v13.1049△t = 0.00001,当△t = –0.0001时,v13.09951当△t =0.0001时,v13.100490.00001,v13.099951v13.1000490.000001,v13.0999951△t =0.000001,v13.1000049…………

思考:当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

我们发现,当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值13.1.从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度v就无限趋近于t2时的瞬时速度.因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s.h2th2为了表述方便,我们用lim13.1t0t表示"当t2,t趋势近于0时,平均速度v趋近于确定值13.1".我们称确定值13.1是h2th2当t趋近于0时的极限.t

2.导数的定义:

函数

y = f (x) 在

x =

x0 处的瞬时变化率是

limf(x0Δx)f(x0) 

ylimx0

x

xx0

称为函数

y = f (x) 在

x =

x0 处的导数, 记作f(x0)

或y|xx0,即

f(x0)limx0f(x0Δx)f(x0) .

x

1.f(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。

2.f(x0)与x的具体取值无关。3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

由导数的定义可知, 求函数y = f (x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量yf(x0x)f(x0);yf(x0x)f(x0);xyx3. 求值f(x0)lim.x0x2. 求平均变化率一差、二比、三极限

三、典例分析

例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.

(2)求函数f(x)= -x2+x在x= -1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.

4xx27xx3,x注意：距离关于时间的导数就是速度

而速度关于时间的导数则是加速度

例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在xh时,原油的温度单位:0C为fxx27x15(0x8).计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

解在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'2

和f'6.根据导数的2yf2xf22x72x15227215定义

xxx4xx27xx3,

x所以,f'2limylimx33,

同理可得f'65.

x0xx0请同学们自己完成具体运算过程.

在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3与5.它说明在第2h附近,

原油温度大约以30C/h的速率下降;在6h附近,原油温度大约以50C/h的速率上升.一般地,f'x0反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.

1例3 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间sgt22单位是s,g=10m/s2.求：

(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；

(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；

(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度（导数）.

1ss(t0t)s(t0)2gtg(t)2分析：

2__vss(t0t)s(t0)12gg(t)tt2

O解:s12gg(t)t2(1)将Δt=0.1代入上式，得: __v2.05g20.5m/s.__vs(2)s(2+t)s(2)将Δt=0.01代入上式，得: __v2.005g20.05m/s.从而平均速度v的极限为：____(3)当t0,2t2,ssvlimvlim2g20m/sS(2)t0t0t

三、

1求物体运动的瞬时速度：

（1）

求位移增量: Δs=s(t+Δt)-s(t) （2）求平均速度:

v（3）求极限:

limx0课堂小结

s;tss(tt)s(t)lim.tx0t2由导数的定义可得求导数的一般步骤：

（1）求函数的增量: Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2) 求平均变化率:

yxy'f(x)0（3）求极限:

limx0x五、作业布置

六、教学反思